-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
Ol
·;::::
>0..
0
u
•Sib-a = ! , alors (vn EN, Un= _ c_'-) , etdonc Lun
a +n
n
diverge.
• Si b - a =j:. l,
un+ I
a + n
b - a
( 1)
comme - - = - - = 1 - - - + o - , on peut apUn
b + n
n
n
pliquer la règle de Raabe et Duhamel (exerc ice 4.2.9), après
avoir mis de côté les éventuels facteurs < 0 figurant dans u 11 •
Réponse: converge si et seulement si b - a > 1.
p
•Si Lrk > 0, alors
Un + l
- - -----* +oo .
k= I
Un
noo
p
Un+ I -----* O.
• Si L rk < 0 , alors
k= I
Un
p
• Supposons L rk =O. Alors :
k= I
p
noo
1) Si L rkak < - 1 (resp. > - 1 ), alors L u 11 converge
k=I
n
(resp. diverge) d'après la règle de Raabe et Duhamel (exercice 4.2.9).
p
2) Si L rkak = - 1, alors
k= I
un+ I =1-~ + o(~) =l - ~ + a(-1-),
u 11
n
n
n
n Inn
donc L Un diverge d'après l'exercice 4.2.10.
n
Réponse : L u 11 converge si et seulement si :
Il
Appliquer la règle de d'Alembert (4.2.4 3) Théorème p. 233).
a) Un+ I = e2" ln 3- 3"2 ln2 -----* O.
Un
11 00
Réponse : converge.
ln(n! )
n Inn
n 2
b)O :<::--:<::--:<::"' ' "' ' "' '
n.
n.
n.
règle de d'Alembert.
Réponse : converge.
n2
et ' "°' - converge par la
L.., n'
n;;: I .
u,,+1
.
1
0
c) - - = (n + 1) sin - - 1
-----* .
Un
2n +
noo
Réponse : converge.
d) Un+ I
(n + 1) ( ( pn - n + 1) ... (pn - n + p - 1))
Un
(pn+l) ... ( pn + p)
(p _ J)P- 1
-----*
< l.
noo
pP
Réponse : converge.
l + 1
• Supposons l < 1. En notant À = -
2
- E]O; 1 [, il existe
N E N* tel que :
Comme L À
11 converge (série géométrique, À E]O; 1 [), le
n
théorème de majoration montre que L Un converge.
n
• Raisonner de façon analogue pour le cas l > 1 .
Exemples :
l
- < 1.
2
(
nln n ) ~
((lnn)2
)
b) - -
= exp - - - lnlnn ---*0 < 1.
(ln n)n
n
noo
Réponse : les deux séries convergent.
a) Cf. Analyse MPSI P 3.1 ill1) a).
b) Remarquer d'abord que, pour tout n de N*,
a n+ 1 E {a n ,an + 1} et que les ensembles
A= {n EN*; an+ I =an)
et B = {n E N*; a 11 +1 = an+ 1) sont infinis.
l
Vn E A ,
1)
Vn E B ,
Un + ! =a
Un
u 1
,
~ =ber,, + !
Un
donc (un + I) . n'a pas de limite, ni finie, ni infinie.
Un
n;;: I
La règle de d'Alembert ne s'applique pas.
l
1 an a 11 (a 11 + 1)
2) u ~ = a - -;;- b -2- ,,- -----* a car an ~ In n .
noo
noo
La règle de Cauchy s'applique. On conclut à la convergence de
LUn.
n
n
En notant Sn = L Uk, on a :
k= I
Vn E N*, S2n ~ ( 1 + ~) Sn ,
1 625
0
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•Sib-a = ! , alors (vn EN, Un= _ c_'-) , etdonc Lun
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n
diverge.
• Si b - a =j:. l,
un+ I
a + n
b - a
( 1)
comme - - = - - = 1 - - - + o - , on peut apUn
b + n
n
n
pliquer la règle de Raabe et Duhamel (exerc ice 4.2.9), après
avoir mis de côté les éventuels facteurs < 0 figurant dans u 11 •
Réponse: converge si et seulement si b - a > 1.
p
•Si Lrk > 0, alors
Un + l
- - -----* +oo .
k= I
Un
noo
p
Un+ I -----* O.
• Si L rk < 0 , alors
k= I
Un
p
• Supposons L rk =O. Alors :
k= I
p
noo
1) Si L rkak < - 1 (resp. > - 1 ), alors L u 11 converge
k=I
n
(resp. diverge) d'après la règle de Raabe et Duhamel (exercice 4.2.9).
p
2) Si L rkak = - 1, alors
k= I
un+ I =1-~ + o(~) =l - ~ + a(-1-),
u 11
n
n
n
n Inn
donc L Un diverge d'après l'exercice 4.2.10.
n
Réponse : L u 11 converge si et seulement si :
Il
Appliquer la règle de d'Alembert (4.2.4 3) Théorème p. 233).
a) Un+ I = e2" ln 3- 3"2 ln2 -----* O.
Un
11 00
Réponse : converge.
ln(n! )
n Inn
n 2
b)O :<::--:<::--:<::"' ' "' ' "' '
n.
n.
n.
règle de d'Alembert.
Réponse : converge.
n2
et ' "°' - converge par la
L.., n'
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u,,+1
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c) - - = (n + 1) sin - - 1
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Un
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Réponse : converge.
d) Un+ I
(n + 1) ( ( pn - n + 1) ... (pn - n + p - 1))
Un
(pn+l) ... ( pn + p)
(p _ J)P- 1
-----*
< l.
noo
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Réponse : converge.
l + 1
• Supposons l < 1. En notant À = -
2
- E]O; 1 [, il existe
N E N* tel que :
Comme L À
11 converge (série géométrique, À E]O; 1 [), le
n
théorème de majoration montre que L Un converge.
n
• Raisonner de façon analogue pour le cas l > 1 .
Exemples :
l
- < 1.
2
(
nln n ) ~
((lnn)2
)
b) - -
= exp - - - lnlnn ---*0 < 1.
(ln n)n
n
noo
Réponse : les deux séries convergent.
a) Cf. Analyse MPSI P 3.1 ill1) a).
b) Remarquer d'abord que, pour tout n de N*,
a n+ 1 E {a n ,an + 1} et que les ensembles
A= {n EN*; an+ I =an)
et B = {n E N*; a 11 +1 = an+ 1) sont infinis.
l
Vn E A ,
1)
Vn E B ,
Un + ! =a
Un
u 1
,
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Un
donc (un + I) . n'a pas de limite, ni finie, ni infinie.
Un
n;;: I
La règle de d'Alembert ne s'applique pas.
l
1 an a 11 (a 11 + 1)
2) u ~ = a - -;;- b -2- ,,- -----* a car an ~ In n .
noo
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La règle de Cauchy s'applique. On conclut à la convergence de
LUn.
n
n
En notant Sn = L Uk, on a :
k= I
Vn E N*, S2n ~ ( 1 + ~) Sn ,
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