-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
a) Remarquer: Vn E N, 0 ~ Vn ~ U n .
b) Si M est un majorant de (un)n ~O· alors:
Un
Vn EN, Vn ~
2
~ O.
1 + M
c) Réponse: Un = n 2 .
Puisque Un ------+ 0 , (un)n est bornée : il ex iste M E lR+ tel
noo
que (Vn E N, 0 ~ Un ~ M) . Alors :
Vn E N, 0 ~ u; ~ Mun.
Rappelons l'inégalité de HOlder dans Rn :
V(x 1 ,. · · ,Xn),(Y I , ... ,yn) E lRn,
!
En l'appliquant à Xk = uf:, Yk = l , on obtient :
Pour tout n de N* :
n -1
n-1
aouo - anUn = L(ak Uk - ak+ JUk+ 1) > À L:uk+ l ·
d'où
k=O
k=O
n
Luk < ao:o.
k=1
Appliquer le lemme p. 226.
• 1 ------..,- = _l (l _ (l + ~)1-a)
na-1 - (n + l)a-1 na- 1
n
= -
1
(1-(1+~+0(.!.))) ~ ~ .
na- 1
n
n
noo na
1
donc '""' - est de même nature que
L...., na
n ~ I
• Par téléscopage : '""' - - - - - - -
n (
1
1
)
f:J ka- 1 (k + l)a-1
1
=11------+l ,
(n + l)a - noo
donc '""' . ( -
1
- 1 -
1
1 ) converge.
L...., na(n + l)a -
n ~ 1
Soit n E N tel que n ~ N + 1 ; on a :
Un
Vn
Un- 1
Vn - 1
UN + 1
VN + 1
- - ~ - - , - - ~ - - , ... , - - ~ - - ,
Un-1
Vn- 1 Un- 2
Vn - 2
UN
VN
UN
d'où, par multiplication: Un ~ - Vn.
VN
Appliquer alors le théorème de majoration.
Remarquer d'abord que, si a ~ 0, alors (un)n ~O est croissante
et à ternies dans JR~ , donc L u 11 diverge.
Il
On suppose maintenant a > 0.
a+ 1
l
Notons f3 = - - et, pour tout n de N*, Vn = - 13
•
2
n
Ona:
Vn+ )
(
1 )-/ 3 {3 ( 1)
-- = l + -
=1- - + 0 - .
Vn
n
n
noo n
a + f3
a) Notons y = - 2
- , de sorte que : 1 < f3 < y < a.
Il existe N E N tel que :
Vn ~ N,
'""' l
Comme L...., 7
converge (car f3 > l ), l'exercice 4.2.8 permet
n~ l n
de conclure à la convergence de L Un.
Il
b) Raisonner comme pour a).
Notons, pour n ~ 2 : Vn = - -.
n Inn
• Vn+ 1 = ___ n_ln_n _ _
(n + l)ln(n + 1)
(
1) - l (
1
( 1 ))-1
= l+l + - - +o - -
n
n In n
n In n
Il existe donc N 1 E N - {O, l} tel que:
V 11 + 1
1
1
Vn ~ N1,
- - ~ 1 - - - - - .
Vn
n
2n Inn
•D'autre part, d'après l'hypothèse, il existe N2 E N - {0, 1} tel
que:
'Vn ~ N2,
Un+ 1
l
l
--~ 1- - - -- .
Un
n
2n Inn
• En notant N = Max ( N 1 , N2) , on obtie nt :
Vn:,;:: N,
Vn + I ~ Un+ I
--..:::
.
V 11
U n
1
Comme'""' - - diverge (cf. 4.2.3 Prop. 2 p. 229), l'exercice
L 2
n ln n
n ~
4.2.8 permet (par contraposition) de conclure à la divergence
de LUn .
Il
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a) Remarquer: Vn E N, 0 ~ Vn ~ U n .
b) Si M est un majorant de (un)n ~O· alors:
Un
Vn EN, Vn ~
2
~ O.
1 + M
c) Réponse: Un = n 2 .
Puisque Un ------+ 0 , (un)n est bornée : il ex iste M E lR+ tel
noo
que (Vn E N, 0 ~ Un ~ M) . Alors :
Vn E N, 0 ~ u; ~ Mun.
Rappelons l'inégalité de HOlder dans Rn :
V(x 1 ,. · · ,Xn),(Y I , ... ,yn) E lRn,
!
En l'appliquant à Xk = uf:, Yk = l , on obtient :
Pour tout n de N* :
n -1
n-1
aouo - anUn = L(ak Uk - ak+ JUk+ 1) > À L:uk+ l ·
d'où
k=O
k=O
n
Luk < ao:o.
k=1
Appliquer le lemme p. 226.
• 1 ------..,- = _l (l _ (l + ~)1-a)
na-1 - (n + l)a-1 na- 1
n
= -
1
(1-(1+~+0(.!.))) ~ ~ .
na- 1
n
n
noo na
1
donc '""' - est de même nature que
L...., na
n ~ I
• Par téléscopage : '""' - - - - - - -
n (
1
1
)
f:J ka- 1 (k + l)a-1
1
=11------+l ,
(n + l)a - noo
donc '""' . ( -
1
- 1 -
1
1 ) converge.
L...., na(n + l)a -
n ~ 1
Soit n E N tel que n ~ N + 1 ; on a :
Un
Vn
Un- 1
Vn - 1
UN + 1
VN + 1
- - ~ - - , - - ~ - - , ... , - - ~ - - ,
Un-1
Vn- 1 Un- 2
Vn - 2
UN
VN
UN
d'où, par multiplication: Un ~ - Vn.
VN
Appliquer alors le théorème de majoration.
Remarquer d'abord que, si a ~ 0, alors (un)n ~O est croissante
et à ternies dans JR~ , donc L u 11 diverge.
Il
On suppose maintenant a > 0.
a+ 1
l
Notons f3 = - - et, pour tout n de N*, Vn = - 13
•
2
n
Ona:
Vn+ )
(
1 )-/ 3 {3 ( 1)
-- = l + -
=1- - + 0 - .
Vn
n
n
noo n
a + f3
a) Notons y = - 2
- , de sorte que : 1 < f3 < y < a.
Il existe N E N tel que :
Vn ~ N,
'""' l
Comme L...., 7
converge (car f3 > l ), l'exercice 4.2.8 permet
n~ l n
de conclure à la convergence de L Un.
Il
b) Raisonner comme pour a).
Notons, pour n ~ 2 : Vn = - -.
n Inn
• Vn+ 1 = ___ n_ln_n _ _
(n + l)ln(n + 1)
(
1) - l (
1
( 1 ))-1
= l+l + - - +o - -
n
n In n
n In n
Il existe donc N 1 E N - {O, l} tel que:
V 11 + 1
1
1
Vn ~ N1,
- - ~ 1 - - - - - .
Vn
n
2n Inn
•D'autre part, d'après l'hypothèse, il existe N2 E N - {0, 1} tel
que:
'Vn ~ N2,
Un+ 1
l
l
--~ 1- - - -- .
Un
n
2n Inn
• En notant N = Max ( N 1 , N2) , on obtie nt :
Vn:,;:: N,
Vn + I ~ Un+ I
--..:::
.
V 11
U n
1
Comme'""' - - diverge (cf. 4.2.3 Prop. 2 p. 229), l'exercice
L 2
n ln n
n ~
4.2.8 permet (par contraposition) de conclure à la divergence
de LUn .
Il