"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
1 a-2+ ( a-2)
m) Obtenir Un = e-ïn
° n .
• Si a < 2 , alors Un ------+ 1.
noo
1
•Si a= 2, alors Un------+ e- 2
noo
• Si a > 2, alors
n 2 un =exp ( 2 ln n - ~ na- 2 + o(na- 2 )) ---;;;;;: 0.
Réponse : converge si et seulement si a > 2.
n) Comme pour m) .
Réponse : converge si et seulement si a > 2.
o) Comme pour m).
Réponse : converge si et seul ement si a > 2.
p) Arccos(thn) ~ sin(Arccos(thn )) = J 1 - th 2 n
noo
1
= - - ~ 2e-n.
chn noo
R éponse : converge si et seulement si a > 0.
q) Arctan (1 + ~) - ~ ~ tan (Arctan (1 + ~) - ~)
n
4noo
n
4
a
n
a
2 +n
noo
a
2n '
d'où Un noo
Réponse : converge si et seulement si b > 1.
(
1 )a ( 1 )a
1 +;;
-
1-;;
( 2a)b -.
n:
n b
a
r) u
11
,~ tan un= ~-( -~ 1 - )- a-( -- 1 - )- a 1100 n
l + l +;;
1- ;;
Réponse : converge si et seulement si a = 0.
s) D'après l'exercice 3.3.1 p. 184,
li
x
th t
---,::;:::;:::====;:;:: dt ~ ln x , d'où Un ~ na ln n.
] .Jt(t + 1)
x->+oo
noo
R éponse : converge si et seulement si a < - 1.
t) • Sib < 0 , alorsun------+ +oo .
noo
•Si b > 0 , alors n 2 u 11 ------+ O.
1100
•Si b =O , alors un ~ na(lnn )a.
noo
Réponse : converge si et seulement si :
b > 0 ou (a < -1 et b = 0) .
n
u) Notons, pour n EN - {0, l}, U n = n (2 - e Ï ).
k=2
•Examiner d'abord le cas où l'un des fac teurs 2 - e Ï est nul ;
ce cas correspo nd à a = k ln 2, k E N - (0, 1}.
•D'autre part, il existe N1 E N - {O, l} tel que:
Vk E N, (k ? N1 ===? 2 - er > 0).
• Si a ~ 0 , alors : Vn ? 2 , u,, ? 1.
• Supposons a > O.
Comme ln(2 - ex) = -x - x 2 + o (x 2 ),
x-> 0
il existe 1J E IR~ tel que :
Vx E [0; 1)] , lln(2 - ex)+ xi ~ 2x 2 .
En notant N =Max (Ni , E ( ~) + 1 ), on a alors, pour tout
n de N* tel que n ? N :
n
a 2
2 +oo 1
~ 2 2= (;J ~ 2a 2= k2 ,
k=N + I
k = I
L
n
a
lnun = -
- + O(l)=-alnn + 0(1),
k
1
k 1100
noo
·= N+
d'où
et finalement: U n = n - aeO(l).
Réponse : converge si et seulement si a > 1 .
v) Notons, pour n E N*,
U n = ___.!!:.:. = exp - ln(n !) - p ln n .
~
(1
)
nP
n
• Si p < 1, comme ln (n !) ~ n ln n, on a:
noo
• Si p > 2 , alors,
comme Vn E N*,
L un converge.
n ~ l
Un ------+ + OO .
1100
:ynn
1
0 ~ Un ~ - - = - - ] ,
n P
n P• Si p = 2 , montrer (par récurrence) :
( n)n
1
(Vn EN*, n! ? -
), et déduire Un ? - .
e
en
"r-ï
• Sil ~ p < 2, alors Un ? ~n
Réponse : converge si et seulement si p > 2.
(sh n)a
1
w) •un ? - - - ~ - - - -
n en noo 2a ne0 - a)n
Réponse : converge si et seulement si a < 1.
x) À l'aide d'une comparaison série-intégrale, montrer :
Il
2 .
2= k3/2 ~ - n ~ .
k= I
1100 5
7
Réponse : converge si et seulement si a > -
2
y) Analogue àx).
Réponse : converge si et seulement si a > 3.
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