"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
h") Remarquer 10a(n)- l :::;: n < 10a(n) ,
ln n
Inn
d'où - - < a(n) ~ 1 + - -
ln 10
~
lnlO'
ln 11
(
ln n )-î i i î O
puis 0 < (a(n))-a(n) :::;: ln
10
_ l_ ln (ln,,)
= n - ln 10
iiïïO :::;: n- 2 pour n -----+ oo
(c'est-à-dire: à partir d'un certain rang).
Réponse : converge.
a) 1 re méthode
Par un calcul de DL(oo) , on obtient:
J n2 + n + 1 - J n2 +an+ b
l - a
3 - 4b + a
2
( 1 )
= - - +
+o - .
2
8n
n2
2e méthode
Jn2+n+I-Jn2+an+b
(1 - a)n + (1 - b)
Jn2 + n + 1 + Jn2 +an+ b
si a i- 1
1
n~1; a
~ (l - b) si a = 1 et b f. l
noo 2n
=Ü
si a= b = 1.
Réponse : converge si et seulement si : a = 1 et b = 1 .
b) nun =exp
----+ 1.
(
-a
)
lnn+J(inn)2+a
noo
Réponse : diverge pour tout a de IR .
c). Si a ;:: 0, alors nna - l ----+ +OO.
noo
• Si a < 0, al ors nn• - 1 ~ na ln n .
noo
Réponse : converge si et seulement si a < -1.
d) • Si a < 1, alors Un ----+ 1 .
noo
•Si a= 1, alors un----+ e- 1 .
noo
• Si a > 1 , alors
n 2 un =exp(2lnn-na-l +o(na- 1 ))----+ O .
11 00
Réponse : converge si et seulement si a > l .
1
e) Un ~ tan un ~ - .
noo
1100 2na
Réponse : converge si et seulement si a > 1.
f) Un+ l = (ln(n + 12a ----+O.
Un
(n + 1)
noo
Réponse : converge.
g) (n + l)b - nb = nb ( ( 1 + ~ r -1) Il ~ bnb- I.
Réponse : diverge.
h) •Si a > 0, alors Un ----+ + oo.
noo
• Si a = 0 , alors Un = 1 ----+ 1 .
noo
• Si a < 0, alors
n 2 un = exp(2 ln n + aln n ln ln n) ----+ O.
noo
Réponse : converge si et seulement si a < 0.
i) •Si a < b, alors le terme général n'est pas défini.
•Si a = b, l'étude est triviale.
• Si a > b, alors :
ln(n 2 u 11 ) = 2 Inn+~ ln(Jn +a - .Jn+l})
1
1
= 21nn + ffe in( 01( (1 + ~)2 - (1 + ~)2))
= 2 lnn + ffe (-~Inn+ ln C' 2 ~ b + o (~)))
] 3C
~ - - vn 1nn----+ - oo.
noo 2
noo
Réponse : converge si et seulement si a ;:: b.
j) Le cas a = b est trivial ; supposons a i- b. On a:
1
1
(
l)" 1 1 1
(na+l )ü =n 1+ -
=n+ -. n -a+o(n - a).
na
a
•Si a > b, alors
•Si a < b, alors
1
Un ~ - - nl-b
noo b
] 1-a
U11 ~ - n
11 00 a
Réponse : converge si et seulement si :
a = b ou 2 < a < b ou 2 < b < a.
k) • Si a :::;: 3, alors :
1
2
n
n+l
U11 ;:: -
+ - + ' ' ' + - = - - 1
na
na
na
2nanoo
1
2na-2'
•Si a > 3, alors:
0 :::;: u,, :::;: l + - -1
(
n ),,
na
= exp ( n ln ( 1 + nL 1 ) ) - 1
= exp ( -
1
+ o ( -
1
)) - 1
na - 2
na- 2
noo
Réponse : converge si et seulement si a > 3.
" r
l) Par comparaison de L ln k à li lnx dx
k=2
1
r +'
et 12
ln x dx, on obtient :
(ln(n!))a
1
na- 2'
ln(n !) ~ n ln n, d'où
~ - - - - -
11 00
nb
noo nb- a(lnn) - a ·
Réponse : converge si et seulement si :
b - a > 1 ou (b - a= 1 et a < -1 ).