"'O
0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
1
•
l
1 ; ; sm x 1"
u' )O ::::;
0
2
dx ::::;
sin x dx
1 +ch X
Ü
Io
~
1
:::::;
xdx=2
.
O
2n
Réponse : converge.
v
1
) Puisque shx ~ x, il existe a > 0 tel que :
x-->0
Vx E [O;a], 0 :::::; sh x :::::; 2x ,
d'où, pour tout n de N tel que n > E ( ~) :
1
1
2:
0 :::::; [ " (sh x) 3 1 2 dx :::::; f " (2x) 3 1 2 dx =
22
5
.
lo
lo
Sn 'i
Réponse : converge.
1
n+I
dx
1 n+I dx
w')O ::::;
----;:::====~
2
n+ ~ J x4 + x + 1 n+ ~ X
1
l
l
- - - 1 - n + 1 (2n + l) (n + 1) 1~ 2n2 ·
n+2
Réponse : converge.
1
2n
x')
n
dx
1
211
dx
1 + x3/2 ;;::: n 1 + (2n)3/2
n
Réponse: diverge.
y') Pour n ;;::: 2 ,
1
2n
dx
O:::::; n x 5/2 - si n x
n
1
::::::
~-""" n5/2 _ l noo n3/2 ·
Réponse : converge.
Dans les exemples z') à e
11
) , on veillera à s'assurer de l'intégrabilité des fonctions que l'on veut manipuler
r+oo dx
r+oo dt
z') Jo (1 + x 2 )
11
t=ln(x+= v'J"+x2) Jo ch 2 n- I t
r+oo dt
; ; : : : Jo e<2n-l )t
Réponse: diverge.
a") Pour chaque n ;;::: 2 , la fonction
1
2n -1
x t-----+
~ .
est intégrable sur [O; +oo[ et, grâce
(x + v x2 + l)n
au changement de variable

r+oo
dx
= ro+oo e-n

Jo (x + j x2 + l)n Jo
!o
+oo
1
;;:::
e -nrp drp = - .
0
n
Réponse : diverge.
b 11 )
e- x" dx = -
e- 1 t ;;-l dt
lo
+oo
1 ln+oo 1
o
t=x" n o
Réponse : diverge.
c") Pui sque x 3 - x - 1 ~ x 3 , il existe A E IR~ tel
x-->+oo
x3
que: Vx E [A ; +oo[, x 3 - x - 1 ? 2
d'où, pour tout n de N tel que n ;;::: E(A) + 1 :
1
+
00
dx
1 +oo 2
1
0 ~
3
:::::;
3 dx = 2 ·
n
X - x - 1
n
X
n
Réponse : converge.
f
+oo
dx
lo+oo
dx
d")
---,;:----- OO
(x 2 +X+ l)n
7
O
(x 2 + X + 1)
11
>- r+oo ---,;:---dx _ . - - = ro+oo (x + 1)-2ndx
. , , . . Jo (x2 + 2x + 1) 11 Jo
Réponse : diverge.
1
2n -1
lo
+oo
lo+oo
1
e
11 ) 0 : : : : : ;
e- nx Arctanx dx :::::;
xe- nx dx = 2·
O
O
n
Réponse : converge.
f ') Soit n E N - {0, 1}. Il existe p E N* tel que:
1
1
rr
p - - < nh < p + - , d'où lnrrh - prrl < - , donc :
2
2
2
2
lsin(nrrJ2) 1 = lsin(nrr../2 - prr )I ? -lnrr../2 - prrl ,
rr
puis
1
1
- - - - - :::::; - - - -
1 sin ( n rr ../2) I 21n../2- Pl
n../2 + p
nJ2+p
212n 2 - p 2 1 :::::;
2
Ainsi :
1
2n../2+ ~
0 < - - - - - - - - ::::::
2
n2(lnn)2 1sin(nrr../2) 1 """ 2n2(lnn)2
h
noo n(ln n )2 ·
Réponse : converge.
11
1
1 n
1
g") L (k+n )2 -k2 = n 2 L ----U
k=I
k= I l + -
n
1 n
1
[ 1 dx
1
et ;; L ----U ----;;;;: Jo 1 + 2x = 2 ln 3 .
k= I l + -
n
Réponse : diverge.
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