"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
(
1
n
2
+ 1)
~
_ l
f) exp - - ln - - = - - ~ n 2 .
2
n
n2 + 1 noo
Réponse : diverge.
n
g') chlnn ~ - et ln ch n ~ n.
noo 2
noo
Réponse : diverge.
h'J D'après le théorème des accroissements finis, il existe
Cn E ] ~ ; ~ [tel que:
2n - 1 2n + 1
(
n + l
n- 1) 1
U n = 2n + 1 - 2n - 1 J 1
_ c~ '
' '
1
d ou u 11 ~
r:;·
noo nv3
Réponse : diverge.
i') On sait (cf. Analyse MPSJ, 8.2.3 3) )
que Arccos x ~ .J2,Jf=X,
x--> I -
d'où
Réponse : diverge.
j') Utiliser Arccosx ~ .J2,Jf=X (cf. Analyse MPST,
x--> 1n
1
8.2.3 3)) et Arctan u = - - Arctan - pour u > 0
2
u
(cf. Analyse MPST, 7.9.3 Prop.).
2
On obtient : Un "' ~ .
noo ylrn
Réponse : diverge.
= n ln -
- - Arctan -
~ - - ,
3 (2 (n
1 )) 2n
n 2
n2
noo
n
d'où n 2 u,, -----+ O.
noo
Réponse : converge.
,
( 2
n
2 + 1)
2
l) ln - Arctan - - ~ - - .
n
n
noo nn
Réponse : diverge.
m') D'après le théor ème de Taylor-Young :
Arcsin ( ~ + h) = ~ + h.J2 + o (h).
v2
4
h-->0
1
En remplaçant h par
- r,:;, qui est équivalent à
v2
1
-
r,:; on obtient :
4nv2
4 ~ l (1)
- Arcsin - - = l - - + o - ,
n
2n + l
nn
n
d'où (cf. Ana lyse MPST, 8.2.3 3)) :
ff
Un ~
•
noo
Réponse : diverge.
n') nu,, ~ tan Arctan n - 2 Arctan - -
(
n -1)
11 00
n
n
1
2n3 - 2n2 + 2n - l 1~ 2n2 ·
Réponse : converge.
o') En notant ctn = J Arctan(n2 + 1)
et fJn = J Arctan(n 2 ) , on a :
. ct11 - fJn
ctn + fJn
u,, = 2 sm
2
cos
2
,
ctn - fJn
2
ct2 - {32
n
n
2 (ctn + fJn)
1
Arctan 4
2
ctn + fJn
2
n +n + l
2(ctn + {3 11 )
n~ 2J2rrn4'
cosH
Un~
~
4
.
noo v2n n
d'où
Réponse : converge.
(n 1 ) 3
2
p ' ) 0 ~ - · 2
- ~ n 3 n- n ~ n - 2 lo r squ e n ~ OO ( po ur
n"
n ~ 4).
Réponse : converge.
1
(n!) 2
l
2
n
q ) 0 ~ -- = -- · -- · . . . · -
(2n ) !
n + 1 n + 2
2n
2
2
~ (n + l )(n + 2) n~ n2 ·
On peut aussi appliquer la règle de d'Alembert.
Réponse : converge.
r') Pour n ~ 9 , .J(n - l ) ! ~ (n - 8)4,
n2
d'où 0 ~ Un ~
4 '"" - 2
.
(n - 8) noo n
On peut aussi appliquer la règle de d'Alembert.
Réponse : converge.
s') n 2un = e2 ln n+n
2 ln n-n! ln 2 -----+ O.
noo
Réponse : converge.
lo
I cos2x
l lo I 2
n
t') Ü ~ Q
2
2 dx ~ z COS X dx ~ - 2 .
n + cos x
n O
2n
Réponse : converge.