"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
On a alors:
'v'tE [-~; ~l l(x-t)-xl =ltl ~ ~ ~ IJ,
donc: 'v'tE[-~;~l lrp(x-t)-rp(x)l ~ e,
1
d'où: l(rp * <,On)(x) - rp(x)I ~ e 1_: <,On(t) dt= e.
Il
On conclut: \le > 0, 3N E N , \ln EN, \lx E IR,
(n ~ N ===} l<,0*<,0n(x)-r,o(x)I ~ e) ,
c'est-à-dire : (<,On) neN converge uniformément vers r,o sur IR .
c) Soient r,o E K, [a ; b] un segment de IR en dehors duquel r,o
s'annule, n E N*, F: IR x [a ; b]----+ IR .
(x ,t ) r--+ cp(t)cp,, (x - 1)
aF
akF
Puisque F , - , ... , - - k , ... existent, sont continues par rapport
ax
ax
à x, continues par morceaux (car continues) par rapport à t, et
vérifient HD sur IR x [a ; b], d' après un corollaire du théorème
de dérivation sous le signe f , l'application r,o * rp,, est de classe
C
00 sur IR.
D'autre part (cf. 2) b)), pour tout n de N*, r,o *<,On E K. Enfin
(cf. b)), ( (rp *<,On )n converge vers <,O dans (K , Il · lloo).
Chapiive 4
2p+l
p
p
Ona: \lp E N, L Uk = L::u2; + Lu2i+ I ·
k= O
i=O
i=O
Comme la suite ( f, u2;) converge et que la suite
i=O
p;;>O
( f, u2;+ 1) diverge, la suite (
2
f
1
uk)
diverge. Il
i=O
p;;>O
k= O
p;;>O
en résulte, d'après le théorème sur les suites extraites, que la
suite (tuk)
k= O
n;;>O
diverge, c'est-à-dire que la série L Uk
k;;,0
diverge.
On sait que, pourtout a de IR - n 'll , les suites (sin na)n eN et
(cosna) 11 eN divergent (cf. Analyse MPSI, exercice 3.1.14).
Puisque sin n ~ 0, la série L sin n diverge.
n.00
li
n 2 + n + 1
2
a)ln
~ - .
n2 + n - 1 noo n2
Réponse : converge.
1
n 2 - n
3
b)th - +ln --~ - - .
n
n2 + 1 1100 2n2
Réponse : converge.
1
1
c)
~ -.
n + (-1)
11
Jfî 1100 n
Réponse : diverge.
d) n2(1n n) -.fo = e2 lnn- .fo ln(lnn) ----7 0 .
noo
Réponse : converge.
e) n2n - ln(lnn ) = e<2- ln(lnn))lnn ----7 O.
noo
Réponse : converge.
1
- (l +_J_+o(J_))
f)
-ch -
2 11 2
11 2
n
,, =n
= ~ e(- 2 ,' .2 +o(±))inn
n
1100 n
Réponse : diverge.
- (t + l +~) 1 - (l +~)lnn
1
g) n
" " = - e " "
n
1100 n
Réponse : diverge.
h) -~ sin ( ~ + ~) = - (cos~ +sin~)
=-1-~+o(~).
-..fi. sin( ~+ l)
1 (-l +o(l))lnn
1
n
4 " = _ e 11
,,
,....,_, - .
n
noo n
Réponse: diverge.
1
·h 1
1 -(1 + ~+0(~))1nlnn
i) - (lnn)-c ;; = - e
2,,
"
n
n
1
-( -'I+o(-1z))tnlnn
= - - e 211
"
n ln n
noo n ln n
Réponse : diverge.
en+ e-n
j) ln ch n = ln
2
~ n.
1100
Réponse : diverge.
k) n2 ( - n- )
112
= e2 lnn-11
2
ln(l +~) = e2 lnn - 11 + o(n)
n+l
-----+ O.
1100
Réponse : converge.
2 (ln(n + 1))-n
l) n
Inn
2
0
c
::J
0
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donc: 'v'tE[-~;~l lrp(x-t)-rp(x)l ~ e,
1
d'où: l(rp * <,On)(x) - rp(x)I ~ e 1_: <,On(t) dt= e.
Il
On conclut: \le > 0, 3N E N , \ln EN, \lx E IR,
(n ~ N ===} l<,0*<,0n(x)-r,o(x)I ~ e) ,
c'est-à-dire : (<,On) neN converge uniformément vers r,o sur IR .
c) Soient r,o E K, [a ; b] un segment de IR en dehors duquel r,o
s'annule, n E N*, F: IR x [a ; b]----+ IR .
(x ,t ) r--+ cp(t)cp,, (x - 1)
aF
akF
Puisque F , - , ... , - - k , ... existent, sont continues par rapport
ax
ax
à x, continues par morceaux (car continues) par rapport à t, et
vérifient HD sur IR x [a ; b], d' après un corollaire du théorème
de dérivation sous le signe f , l'application r,o * rp,, est de classe
C
00 sur IR.
D'autre part (cf. 2) b)), pour tout n de N*, r,o *<,On E K. Enfin
(cf. b)), ( (rp *<,On )n converge vers <,O dans (K , Il · lloo).
Chapiive 4
2p+l
p
p
Ona: \lp E N, L Uk = L::u2; + Lu2i+ I ·
k= O
i=O
i=O
Comme la suite ( f, u2;) converge et que la suite
i=O
p;;>O
( f, u2;+ 1) diverge, la suite (
2
f
1
uk)
diverge. Il
i=O
p;;>O
k= O
p;;>O
en résulte, d'après le théorème sur les suites extraites, que la
suite (tuk)
k= O
n;;>O
diverge, c'est-à-dire que la série L Uk
k;;,0
diverge.
On sait que, pourtout a de IR - n 'll , les suites (sin na)n eN et
(cosna) 11 eN divergent (cf. Analyse MPSI, exercice 3.1.14).
Puisque sin n ~ 0, la série L sin n diverge.
n.00
li
n 2 + n + 1
2
a)ln
~ - .
n2 + n - 1 noo n2
Réponse : converge.
1
n 2 - n
3
b)th - +ln --~ - - .
n
n2 + 1 1100 2n2
Réponse : converge.
1
1
c)
~ -.
n + (-1)
11
Jfî 1100 n
Réponse : diverge.
d) n2(1n n) -.fo = e2 lnn- .fo ln(lnn) ----7 0 .
noo
Réponse : converge.
e) n2n - ln(lnn ) = e<2- ln(lnn))lnn ----7 O.
noo
Réponse : converge.
1
- (l +_J_+o(J_))
f)
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2 11 2
11 2
n
,, =n
= ~ e(- 2 ,' .2 +o(±))inn
n
1100 n
Réponse : diverge.
- (t + l +~) 1 - (l +~)lnn
1
g) n
" " = - e " "
n
1100 n
Réponse : diverge.
h) -~ sin ( ~ + ~) = - (cos~ +sin~)
=-1-~+o(~).
-..fi. sin( ~+ l)
1 (-l +o(l))lnn
1
n
4 " = _ e 11
,,
,....,_, - .
n
noo n
Réponse: diverge.
1
·h 1
1 -(1 + ~+0(~))1nlnn
i) - (lnn)-c ;; = - e
2,,
"
n
n
1
-( -'I+o(-1z))tnlnn
= - - e 211
"
n ln n
noo n ln n
Réponse : diverge.
en+ e-n
j) ln ch n = ln
2
~ n.
1100
Réponse : diverge.
k) n2 ( - n- )
112
= e2 lnn-11
2
ln(l +~) = e2 lnn - 11 + o(n)
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1100
Réponse : converge.
2 (ln(n + 1))-n
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2