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u
• Soient a E IR ,

{
a ~ h
'Vx E IR - [a; h], On a alors: 'Vx E IR - [a; h], a • Soient f E C,

'Vx E IR - [a ; h], On a alors: 'Vx E IR - [a; h] , f(x) et donc: f rp E /C .
2) a) Soit (f, et: 'Vu E IR - [a; h] rp(u) =O.
Pour tout x de IR, l'application t f----+ f(t)rp(x - t) est continue s ur IR e t nulle en d e hors d e [x - h; x - a], donc
(f * 00
f (t) h) a) Soient (f, 2 tel que [a; b]
contienne le support de

On a : 'V x E [ xo - 1; xo + 1],
f
xo - a+ I
(f * rp)(x) =
. f(t)rp(x - t)dt.
xo- b- 1
L'application
[xo - 1 ; xo + 1] x [x 0 - h - 1 ; x 0 - a + 1] ----+ IR
(x ,t) 1-----+ f( t )rp(x - t)
est continue par rapport à x , continue par morceaux (car continue) par rapport à t , et vérifie HD car :
'V(x,t) E [xo - 1 ; x 0 + l] x [x 0 - b - l; x 0 - a+ l],
If (t) et cette dernière application constante est intégrabl e sur le segment [x 0 - h - 1 ; x 0 - a+ 1].
D 'après le théorème de conti nuité sous le signe I l'application f * rp est co ntinue su r [x 0 - l; x 0 + l], e t ainsi,
f *

{3) Soit (rp,'lj;) E JC 2 .
D'après a),

1
a ~ h et c ~ d
'Vu E IR - [a; h] , 'Vv E IR - [c; d], 'lj;(v) = O.
On a donc: 'Vx E IR, (

Comme: 'Vx E IR - [a+ c; h + d], 'Vt E [a; h],
X - t \t [c; d],
ona : 'VxE IR - [a+c;h+d], ( et do nc

3) Soit ( 1_:: (

= 1_:
00
( / _:
00
'lj;(x - t )dx ) = ( 1_:
00
rp(t) dt) ( 1_:
00
'lj;(u) du),
où il s'agit, en fait, d'intégrales de fonctions continues sur des
segments.
4) • 'Vrp,'lj; E /C, 'Vx E IR,
l
+oo
('lj; * ll=~-t 1_:
00
'lj; (x - u ) • ' V = 1_:
00
( / _:
00
rp(u)'lj;(t - u) du) x(x - t) dt
= 1_:
00
rp(u) (/_:
00
îf;(t - u)x(x - t)dt) du
v= =:'-u 1_:
00
rp(u) (/_:
00
'lj;(v)x(x - u - v)dv ) du
= 1_:
00
5) a) Montrer, par récurrence sur n E N, que e est de classe en
sur 1R et qu'il existe (an, Pn ) E N* x IR[X] tel que, pour tout x
de ] - l; 1[ :
En appliquant le théorème limite de la dérivée en -1 et 1, on
en déduit que e est de classe C
00 sur IR et que :
'Vn E N, e 11 l( l) =O.
h) Il est clair que, pour tout n de N , 1_:
00
e (nx )dx > 0, donc
Yn = (/_:
00
e (nx )dx) -I existe et est > 0.
On a, pour tout n de N* et tout x de IR :
l (rp * = 1 1_:: 1
= J_~ En notant [a; h] un segment de IR en dehors duquel rp est nulle,
le théorème de Heine montre que

[ h; +oo[, on en déduit facilement que

Soit é > O. Il existe TJ > 0 tel que :
'V(u, v) E IR 2 , (1 u - vl ~ TJ = } l ( l)
Notons N = E ry + l, et soit n E N* tel que n ~ N.
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