-0
0
c
:J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
1 " (1Y sin y ) 1" sin y
l =
- - dx dy =
- - y dy
0
0
y
0
y
= 1" sin y dy = [ - cos y]~ = 2.
Réponse: 2.
y
4
3
0
2
Le domaine D est défini par:
1
X
X
5
- :<:y:<: - + -
2--.;:: --.;:: 2
2
3x - 5::::;; y::::;; 3x.
Effectuer le changement de variables défini par :
u =y-1
X
v = y - ;x.
Le nouveau domaine L1 est défini par :
0::::;; u ::::;; -
1
5
-5 ::::;; V; 0,
2
et on calcule le jacobien, J = S. D'où :
l =fi He
2
"~dudv
= ~(1
5 12
e
2
" du)(/_: H
dv)
= ~ [~]5/2 [- ~(-v)~ Jo .
5 2 0
3
-5
,
2,JS 5
Reponse: 1 = -
3
-(e - 1) ~ 219,750 ...
Effectuer le changement de variables défini par :
[
u = x 2 - y2
V =xy
X
qui est un C
1
-difféomorphisme de D sur le domaine L1 défini
par:
{
1 ::::;; u ::::;; 9
2 ::::;; V ::::;; 4.
Le jacobien est donné par :
r ' = 1
2
;
-:Y 1 = 2(x
2 + /),
d 'où:
l = !1 ~ du dv = ~ 1
9
du [4 dv = 8.
LI 2
2 1
12
Réponse: 8.
y
[)
0
Passer en polaires :
(x - 1)
2 + y2 ::::;; 1
{=::} (p cos e - 1)
2
+ (p sin 8)
2 ::::;; 1
X
{=::} p
2 - 2p cose ::::;; O {=::} 0 ::::;; p::::;; 2cose.
En notant L1 le nouveau domaine, on a :
{ ~ ( { 2cos0
)
= lo lo p
2 dp cos
3 8d8
8 'f
= - r -cos 6 8 de.
3 Jo
Pour calculer cette dernière intégrale, Linéariser, en utilisant une
formule d' Euler par exemple, ou bien utiliser l'intégrale de
Wallis.
Sn
Réponse : l = l2 .
1) • Il est clair que K, # 0, car 0 E K,.
•Soient <{J, 'l/J E K,. Il existe (a ,b ,c,d) E JR 4 tel que :
1
a ~ b et c ~ d
Vx E JR- [a ;b] , <{J(X) =Ü
Vx E lR - [c; d] , î/J(x) =O.
En notant a= Min(a,c) et f3 = Max(b,d), on a:
Vx E lR - [a ; {3], <{J(X) + î/J(x) = 0,
ce qui montre :