"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
et tP- 1 (1- t )q- l ~ (1- t)q- l > 0 ,
1---+ I
donc t 1----+ tP- 1 (l - t)q- I est intégrable sur JO; l [si et seulement si : p > 0 et q > O.
Réponse : ]0; +oo[ 2 .
b) • B (q,p) = fol tq - I (1 - t)P- 1 dt
• B(p ,q)
= fl (1 - u)q - l up-l du = B(p,q).
u=l-r }o
=
f ~ (sin 2 e)p- I (cos 2 e)q- l 2 sin e cose de
0=Arcsin(0) Jo
= 2 fo~ sin 2 P- 1 ecos 2 q- Ie de.
c) a) 1) Soit a E [O; +oo[.
Il est clair que: Da C Lla C Da./2·
Comme (x,y) 1----+
y
2) •Passons en coordonnées polaires pour exprimer la :
la= f L. x2p- le-x2y2q - le- Y2dx dy
= j'f
(p cose) 2 p- l (p sine)2q- l e- P
2 p dedp
} [0:1]x[O:a]
= (foa p 2 P+ 2 q- le-P
2
dp)( fo ~ cos 2 P- 1 &sin 2 q- lede)
= ~( f a
2
up+q- le- "du)B (p,q).
u=p2 4 lo
a) •D'autre part:
c) fJ) En faisant tendre a vers +oo et en utilisant a) 1) et 2),
on obtient: f(p + q)B(p,q) = f (p)f(q).
y) Pour tout (p,q) de (N*)2 :
f (p) f(q )
(p - l ) !(q - l)!
B (p,q) = f(p+q) = (p+q -1 ) !
1
C
p- 1
(p + q - l ) p+q-2
p+q
cq .
pq p+ q
R ,
u
)
*)2
p + q
eponse: v(p,q E (N , B(p ,q) = Cq
pq p+q
a)
f 1
f 1 (
)x- 1
B(x,x) = lo tx1 0 -rr1
dr = lo t( l - t) dt
J loi (
2 )x- I
= - -
1 - (2t - 1)
dt
22x-2 O
f ~
x-1
= r2x+3 lo ( 1 - (2t - 1)2) dt
=
r2x+3 f I (1- u)x - 1 _l_ du
11=<21 - 1)2
lo
4.fo
= r2x+ I fol u -1 (1- u)x - ldu = r2x + IB (~,X).
(f(x)) 2
b) On a : B (x,x) = f( 2
x)
r (~) r(x)
" 2- ' '+'s G· x) ~ 2- 2'+1 ( l) ,
f X+2
d'où: 22x-lr(x)r ( x + ~) = r (~) î(2x).
c) D'après b):
22n-l (n - l )! r (n + ~) = r (~) (2n - l)! ,
d'où:
(
1)
(1) (2n-l)! (1)(2n) !
r n+2 =f 2 22n- l(n-1)! = f 2 22nn!
formule valable aussi pour n = O.
( 1) (2n) !,.fii
Finalement: Vn EN, r n + - =
2
•
2
2
11 • n!
1
1 ( l +x)2p-l(l -x)2q-l dx
- 1
(1 + x2)p+q
1
~ ( 1 + tan8) 2 P- 1 ( 1 - tan 8)2q- I
----~----- d8
O=A-;:;;tanx _!!.
(1 + tan28)P+q-l
4
(
tan 2 p- I (
tan •
l +
1- - - -
=
{ ~
tan tan d
1 )2)p+ q-I
1
+ tan tan 1 611
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
et tP- 1 (1- t )q- l ~ (1- t)q- l > 0 ,
1---+ I
donc t 1----+ tP- 1 (l - t)q- I est intégrable sur JO; l [si et seulement si : p > 0 et q > O.
Réponse : ]0; +oo[ 2 .
b) • B (q,p) = fol tq - I (1 - t)P- 1 dt
• B(p ,q)
= fl (1 - u)q - l up-l du = B(p,q).
u=l-r }o
=
f ~ (sin 2 e)p- I (cos 2 e)q- l 2 sin e cose de
0=Arcsin(0) Jo
= 2 fo~ sin 2 P- 1 ecos 2 q- Ie de.
c) a) 1) Soit a E [O; +oo[.
Il est clair que: Da C Lla C Da./2·
Comme (x,y) 1----+
y
2) •Passons en coordonnées polaires pour exprimer la :
la= f L. x2p- le-x2y2q - le- Y2dx dy
= j'f
(p cose) 2 p- l (p sine)2q- l e- P
2 p dedp
} [0:1]x[O:a]
= (foa p 2 P+ 2 q- le-P
2
dp)( fo ~ cos 2 P- 1 &sin 2 q- lede)
= ~( f a
2
up+q- le- "du)B (p,q).
u=p2 4 lo
a) •D'autre part:
c) fJ) En faisant tendre a vers +oo et en utilisant a) 1) et 2),
on obtient: f(p + q)B(p,q) = f (p)f(q).
y) Pour tout (p,q) de (N*)2 :
f (p) f(q )
(p - l ) !(q - l)!
B (p,q) = f(p+q) = (p+q -1 ) !
1
C
p- 1
(p + q - l ) p+q-2
p+q
cq .
pq p+ q
R ,
u
)
*)2
p + q
eponse: v(p,q E (N , B(p ,q) = Cq
pq p+q
a)
f 1
f 1 (
)x- 1
B(x,x) = lo tx1 0 -rr1
dr = lo t( l - t) dt
J loi (
2 )x- I
= - -
1 - (2t - 1)
dt
22x-2 O
f ~
x-1
= r2x+3 lo ( 1 - (2t - 1)2) dt
=
r2x+3 f I (1- u)x - 1 _l_ du
11=<21 - 1)2
lo
4.fo
= r2x+ I fol u -1 (1- u)x - ldu = r2x + IB (~,X).
(f(x)) 2
b) On a : B (x,x) = f( 2
x)
r (~) r(x)
" 2- ' '+'s G· x) ~ 2- 2'+1 ( l) ,
f X+2
d'où: 22x-lr(x)r ( x + ~) = r (~) î(2x).
c) D'après b):
22n-l (n - l )! r (n + ~) = r (~) (2n - l)! ,
d'où:
(
1)
(1) (2n-l)! (1)(2n) !
r n+2 =f 2 22n- l(n-1)! = f 2 22nn!
formule valable aussi pour n = O.
( 1) (2n) !,.fii
Finalement: Vn EN, r n + - =
2
•
2
2
11 • n!
1
1 ( l +x)2p-l(l -x)2q-l dx
- 1
(1 + x2)p+q
1
~ ( 1 + tan8) 2 P- 1 ( 1 - tan 8)2q- I
----~----- d8
O=A-;:;;tanx _!!.
(1 + tan28)P+q-l
4
(
tan 2 p- I (
tan •
l +
1- - - -
=
{ ~
tan tan d
1 )2)p+ q-I
1
+ tan tan 1 611