"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Notons, pour x E]Ü; + oo[ : A(x) = f
0
I
du
Jo x - i sinu
On a, pour tout x de ]O; +oo[ et T de [O; +oo[ :
1
{T J(t)e-x'dt - A(x) I = 1 { I e- (x -.isi.nu)T dul
lo
lo x -1 smu
lo
I
e-xT
:::;;;
du
0 Jx2+sin 2 u
7C e-xT
,,:;; -2 - - -----7 O.
X
T->+oo
Ceci montre :
\lx E]O; +oo[, fo+oo l(t)e- xrdt = [0 1 du
Jo
Jo x - i sin u
•Calculons A(x) , pour x E]O; +oo[. On a:
Io
1
x
Io 1 sin u
A (x) =
du + i
du.
o x2 + sin 2 u
0 x2 + sin 2 u
1)
{ I
X
du =
r+oo
X
dt
Jo x2 + sin 2 u t=tanu Jo (x 2 + l)t 2 + x 2
l r+oo
l
= ~ Jo
( J x2 + 1 ) 2 dt
1 +
t
X
2)
fo
I
sinu
loi
dv
------,,,.--- du =
---=--~
x2 + sin2u
v=cosu 0 (1 + x2) _ v2
1
[l I+-~-:-x2]
1
= 2J1 + x 2 n 1 - ~
v 1 + x 2 O
1
J1+x2+1
--===== ln ----,,=====--2J1 +x2
J1 +x 2 -1
= ~ (ln(Jl+x2+1)-lnx).
v 1 +x 2
Finalement, pour tout x de ]O; +oo[ :
lo
+oo -xt
1 ( . ~ + 1)
l(t)e
dt=
~ 7r+1ln ~
.
o
2v 1 + x2
v 1 + x 2 - 1
Puisque r est de classe C 2 sur ]O; +oo[ et à valeurs > 0,
\lx E]O; +oo[,
11 X _ _.:!.._ (r'(x)) _ r"(x)r(x) - r '
2 (x)
r(x) -
r2(x)
.
En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à
r - 1
r
x- 1
r
t ~ (lnt)t 2 e-2 ett ~ t 2 e- 2, onobtient,pourtoutx
de ]O; +oo[ :
r' 2 (x) = (fo+
00
(1nt)tx-le1 dt)
2
: : : ; ; ; (fo+oo (ln t)2tx- I e- t dt) (fo+oo tx - le- tdt)
= r"(x)r(x),
d'où: Vx E]O; +oo[,
pour tout x de ]0; +oo[ :
r+oo
Jo e1 (t - x)tx -
1
ln t dt
= fo+
00
(lnt)txe1 dt-x fo+
00
(lnt)tx- le-tdt
= r ' (x + 1) - xr'(x)
Comme: Vx E]Ü; +oo[, r(x + 1) = xr(x)
on déduit:
\lx E]O; +oo[, r'(x + 1) = xr'(x) + r(x),
d'où:
\lx E]Ü; +oo[,
exr- e' dt =
ux e- " - du = r(x).
f
+oo
lo+oo
1
- OO
U =~ Q
U
lo
+oo
2
lo+oo (y) ~ _ 1
xme- ax dx =
- e y _ _ dy
O
y=ax2 O
a
2.jliY
1 lo+oo m-1 y
1 (m + 1)
- - -
_2_ e_ d = - - r - - .
-
m+ I
Q
Y
Y
m+ I
2
2a -Y2a -Yr+oo
= Jo ttle-< a+l )tdt
-
- - e- " - - du
lo
+oo ( u )fJ
1
u=(; + l)t O
a+l
a+l
1
r+oo
r(,B + 1)
= (a+ l)fJ+l Jo utle-"du = (a+ l)fJ+l.
a) Pour tout (p,q) de IR 2 , l'application
t ~ tp-I (1 - t)q- I
est
tp-1 (1- t)q-1 ~ tP-1 > Q
t -> 0
continue
sur
]O; 1 [,
0
c
::J
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Notons, pour x E]Ü; + oo[ : A(x) = f
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Jo x - i sinu
On a, pour tout x de ]O; +oo[ et T de [O; +oo[ :
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lo
lo x -1 smu
lo
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,,:;; -2 - - -----7 O.
X
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Ceci montre :
\lx E]O; +oo[, fo+oo l(t)e- xrdt = [0 1 du
Jo
Jo x - i sin u
•Calculons A(x) , pour x E]O; +oo[. On a:
Io
1
x
Io 1 sin u
A (x) =
du + i
du.
o x2 + sin 2 u
0 x2 + sin 2 u
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X
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Jo x2 + sin 2 u t=tanu Jo (x 2 + l)t 2 + x 2
l r+oo
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= ~ Jo
( J x2 + 1 ) 2 dt
1 +
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fo
I
sinu
loi
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------,,,.--- du =
---=--~
x2 + sin2u
v=cosu 0 (1 + x2) _ v2
1
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= 2J1 + x 2 n 1 - ~
v 1 + x 2 O
1
J1+x2+1
--===== ln ----,,=====--2J1 +x2
J1 +x 2 -1
= ~ (ln(Jl+x2+1)-lnx).
v 1 +x 2
Finalement, pour tout x de ]O; +oo[ :
lo
+oo -xt
1 ( . ~ + 1)
l(t)e
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~ 7r+1ln ~
.
o
2v 1 + x2
v 1 + x 2 - 1
Puisque r est de classe C 2 sur ]O; +oo[ et à valeurs > 0,
\lx E]O; +oo[,
11 X _ _.:!.._ (r'(x)) _ r"(x)r(x) - r '
2 (x)
r(x) -
r2(x)
.
En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à
r - 1
r
x- 1
r
t ~ (lnt)t 2 e-2 ett ~ t 2 e- 2, onobtient,pourtoutx
de ]O; +oo[ :
r' 2 (x) = (fo+
00
(1nt)tx-le1 dt)
2
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= r"(x)r(x),
d'où: Vx E]O; +oo[,
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1
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= fo+
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= r ' (x + 1) - xr'(x)
Comme: Vx E]Ü; +oo[, r(x + 1) = xr(x)
on déduit:
\lx E]O; +oo[, r'(x + 1) = xr'(x) + r(x),
d'où:
\lx E]Ü; +oo[,
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ux e- " - du = r(x).
f
+oo
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1
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= (a+ l)fJ+l Jo utle-"du = (a+ l)fJ+l.
a) Pour tout (p,q) de IR 2 , l'application
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est
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