= 2p+q - 2 B(p,q).
a) D'abord,f estcontinue sur [0 ; +oo[ 2 et à valeurs réelles ~ O.
Soient J ,J ' deux segments inclus dans [O; +oo[ . Il
existe (a,b) E [0; +oo[
2 tel que: J c [O; a] et J ' c [O; b].
Ona:
f 1xJ,f ~ 1b (1a f(x,y) dx) dy
= 1b (1a 1 + (x(: + y 2))2 dx) dy
= rb [Arctan (x(l 2+ y2)) ]a dy
Jo
1 +Y
x=O
l
b Arctan(a(l + y2))
-
dy
-
0
1 + y2
~ !:.. rb ~ = !:..Arctanb ~ (!:..)
2
"' 2 } 0 1 + y 2 2
""' 2
Il en résulte, par défirùtion, que f est intégrable sur [O; +oo[
2 •
b) Réponse: L' application f(O, ·): y t--7 1 n'est pas intégrable sur [0; +oo[.
On a, pour tout (X, Y) E [0; +oo[ 2 :
{x ( ( e -l xy l dy ) dx = {x [ e~xy ] Y dx
lo Jo
lo
x y=O
l
x l-e -xr
=
dx
0
X
1 - e -x Y
Pour Y > 0 fixé, l'application x t--7
, est continue,
X
1
~ 0, non intégrable car équivalente à - en +oo, donc
X
[X l - e - x Y dx ~ +oo. Il en résulte que les/' r j,
Jo
X
X-+ +oo
J1 xl'
ne sont pas majorées lorsque Jet J ' décrivent les segments inclus dans [O; +oo[. On conclut en utilisant la définition de I' intégrabilité.
Réponse: f n'est pas intégrable sur [O; +oo[
2 .
Ona:
où:
"I (x,y) E JR
2 , f(x,y) = u(x)u(y),
4
u : lR ~ lR, x t--7 u(x) = e - x .
Puisque u est intégrable sur lR , f est intégrable sur JR
2 .
Réponse : f est intégrable sur JR
2 •
D'abord, fa est continue et ~ 0 sur ]O; 1]2.
0 f,
X
Notons, pour touts > 0 :
.1, = Jo ; i[ x [e; 1]
D, = { 2 ; e
2
~ x
2 + y2 ~ l}.
On a, en passant en coordonnées polaires :
! ·r f a(x ,y)dxdy = r ~ 1· -kpdpd8
Jo,
Jo e P
= ( 1 ~ de) ( [ ' P 2 !_, dp)
Si a ~ 1, a lors
1
1 ~ dp ~ +oo. Comme
t
p a -
t-+ 0
[ e ; ~r c D,, et que fa~ 0, il e n résulte
! '{ f ~ +oo, donc fa n ' est pas intégrable sur
J[e; l /Jl]2 t - 0
]O; 1 ]
2 •
Si a < 1, alors
! . ro . .1" ~ !:.. [ p - 2a+2 ] 1
Jr. e -+O 2 -2a+2 0 4(1- a)
Comme, pour tous segments J, J ' inclus dans ]O; l], il existe
e > 0 tel que J x J ' C D, , il en résulte que fa est intégrable
sur ]O; 1]2.
Réponse : f a est intégrable sur ]O; l ]
2 si et seulement si a < 1 .
D'abord, l'application! : (x ,y) t--7 e -(ax
2
+ 2 bxy+cy2) est continue et ~ 0 sur JR
2 .
Mettons le trinôme sous forme canonique :
(
b )
2
b2
ax
2 + 2bxy + cy2 =a x +-;;y - -;; y2 + cy
(
b )
2
D
=a x+-;_;Y +-;y2,
en notant D = ac - b
2 > 0.
Effectuons le changement de variables affine défini par :
X=Ja(x+~y). Y=~y,