"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Pour x > 0 , o n obtient, en passant à la limite quand X tend vers
sin t
+oo et puisque t . - [3 est intégrable sur [x ; +oo[ :
1 +
00 sint
cos x
sin x
1+
00 sint
-
dt = - - + - - - 2
-
dt
2
3
.
x
t
X
X
x
t
sin x
( 1 )
E nfin, - 2
- = O
2
X
x--> +oo X
et, puisque
11.
+oo sin t
1 1.+
00 1
_ 1
- 3 - dt ::::;
3 dt - 2 '
X
t
X
t
2X
- dt -
0
-
1
+
00 sin t
( 1 )
x
t3
- x -->+oo x 2 ·
Finalement :
-
dt = -
+
0
-
.
1.
+oo sin t
cos
( 1 )
~
t
X
x -->+oo x2
a) L'applicatio n : [O; l ] ~ tC défi nie par ('v'x E [O; l],
(x) = - f
1
~ f (t) dt ) est continue sur[O; l], de classe C 1
lx t
1
sur ]O; l], et : 'v' x E]O; l], ' (x) = - f(x).
X
D'où, pour to ut t: de ]O; l] :
1
1
f (t) dt = 1
1
t
1 (t) dt = [t(t) ]~ - 1
1
(t) dt
= - ê(ê ) -1
1
(t) dt ~ - f 1 ,
ê
s----. 0+
lo
car est continue sur [O; l].
b) 'v' x E]O; 1],
1
1 fo x
l fox
- (g(x) - g (O)) = -
f = -
t ' (t ) dt
X
X Q
X Q
= ~ ([t(t)]~ - fox (t ) dt ) = (x) - ~fox.
1 fox
Puisque est continue en 0: -
~ (0).
X
0
x ---->O+
1
Ceci mo ntre : - (g(x) - g(O)) ~ O.
X
x - .O+
On conclut que g est dérivable à droite en 0 et que : g~ (0) = 0
l) Remarquer d 'abord que, po ur to ut x de JR - {- 1, 1),
l'application [O; rr ] --+ IR est à valeurs > 0 , et donc
If--> l - 2xcos t + x2
I (x) existe.
2) Pour tout x de ] - l ; l [-{0}, on a:
l (~) = Ion ln (1 - ~cost + x
1
2 ) dt
=Ion (ln(x 2 - 2xcos t + 1) - 21n lx l) dt
= / (x) - 2rr ln lx l.
On peut donc se restreindre à calculer I (x) lorsque x E] - l ; 1 [.
3) Noto ns F :
] - 1 ; 1 [ x [0 ; rr]
(x ,t) 1----+ ln (1 - 2x cos t + x
2 )
Pour tout x E ] - 1 ; 1 [, F(x, ·) est intégrable sur [O ; rr ], car
F (x,-) est continue sur ce segment.
aF
2x - 2cost
L' applicatio n -
: (x ,t) . -
2
, est définie
ax
1 - 2x COS t + X
sur ] - 1 ; 1 [ x [O ; rr] , continue par rapport à x , continue par
morceaux (car continue) par rappo rt à t , et vérifie HDL sur
] - 1 ; l[ x [O ; rr] car, pour tout a E [O ; l[ :
'v'(x,t) E [ - a ; a ] x [0 ; rr ],
1
a F
1 1 2x - 2 cos t 1
- (x ,t) =
ax
1 - 2x cos t + x 2
4
4
~
~ --(1 - x cos t) 2 + (x sin t ) 2
(1 - a)2
4
et l'application constante
2
est intégrable sur le segment
(1 - a)
[0 ; rr ] (cf. aussi la Remarque 2) du § 3.5 .1 p. 19 1).
D ' après le théorème de dérivation sous le signe forr, l' application l e st de classe C
1 sur] - l ; 1 [ et:
I
r a F
r 2x - 2cos t
1 (x) = Jo ~(x,t) dt = Jo l -2xcos t + x 2 dt
1 - u 2
fo
+oo
2x - 2 - -
1 + u 2
2du
1 + u 2
fo
+oo
(x - 1) + (x + l )u 2
= 4
d u
o ((x - 1)2 + (x + l)2 u2)(l + u2 )
2 fo +oo (
1
x 2 - 1
)
- -
- - +
du
- x o
l + u2
(x - 1)2 + (x + 1)2u2
= ~ [ Arctan u + Arctan (x +
1
u )] +oo = 0,
X
X- 1
Q
x+ l
car - - < O.
x - 1
D'autre part : I ' (O) =O.
(si X# 0)
Ainsi, l est constante sur] - 1; l [ ; de plus, l (0) = O .
Réponse:
{
0
l (x) =
2rr ln lx l
si X E] - 1; J [
si x E] - oo; -l [U]l; +oo[.
d'où /(x)=2 f
0
~
dt
Jo cos2t + x sin 2 t ·
0
c
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Pour x > 0 , o n obtient, en passant à la limite quand X tend vers
sin t
+oo et puisque t . - [3 est intégrable sur [x ; +oo[ :
1 +
00 sint
cos x
sin x
1+
00 sint
-
dt = - - + - - - 2
-
dt
2
3
.
x
t
X
X
x
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sin x
( 1 )
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- = O
2
X
x--> +oo X
et, puisque
11.
+oo sin t
1 1.+
00 1
_ 1
- 3 - dt ::::;
3 dt - 2 '
X
t
X
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2X
- dt -
0
-
1
+
00 sin t
( 1 )
x
t3
- x -->+oo x 2 ·
Finalement :
-
dt = -
+
0
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.
1.
+oo sin t
cos
( 1 )
~
t
X
x -->+oo x2
a) L'applicatio n : [O; l ] ~ tC défi nie par ('v'x E [O; l],
(x) = - f
1
~ f (t) dt ) est continue sur[O; l], de classe C 1
lx t
1
sur ]O; l], et : 'v' x E]O; l], ' (x) = - f(x).
X
D'où, pour to ut t: de ]O; l] :
1
1
f (t) dt = 1
1
t
1 (t) dt = [t
1
(t) dt
= - ê(ê ) -1
1
(t) dt ~ - f 1 ,
ê
s----. 0+
lo
car est continue sur [O; l].
b) 'v' x E]O; 1],
1
1 fo x
l fox
- (g(x) - g (O)) = -
f = -
t ' (t ) dt
X
X Q
X Q
= ~ ([t(t)]~ - fox (t ) dt ) = (x) - ~fox.
1 fox
Puisque est continue en 0: -
~ (0).
X
0
x ---->O+
1
Ceci mo ntre : - (g(x) - g(O)) ~ O.
X
x - .O+
On conclut que g est dérivable à droite en 0 et que : g~ (0) = 0
l) Remarquer d 'abord que, po ur to ut x de JR - {- 1, 1),
l'application [O; rr ] --+ IR est à valeurs > 0 , et donc
If--> l - 2xcos t + x2
I (x) existe.
2) Pour tout x de ] - l ; l [-{0}, on a:
l (~) = Ion ln (1 - ~cost + x
1
2 ) dt
=Ion (ln(x 2 - 2xcos t + 1) - 21n lx l) dt
= / (x) - 2rr ln lx l.
On peut donc se restreindre à calculer I (x) lorsque x E] - l ; 1 [.
3) Noto ns F :
] - 1 ; 1 [ x [0 ; rr]
(x ,t) 1----+ ln (1 - 2x cos t + x
2 )
Pour tout x E ] - 1 ; 1 [, F(x, ·) est intégrable sur [O ; rr ], car
F (x,-) est continue sur ce segment.
aF
2x - 2cost
L' applicatio n -
: (x ,t) . -
2
, est définie
ax
1 - 2x COS t + X
sur ] - 1 ; 1 [ x [O ; rr] , continue par rapport à x , continue par
morceaux (car continue) par rappo rt à t , et vérifie HDL sur
] - 1 ; l[ x [O ; rr] car, pour tout a E [O ; l[ :
'v'(x,t) E [ - a ; a ] x [0 ; rr ],
1
a F
1 1 2x - 2 cos t 1
- (x ,t) =
ax
1 - 2x cos t + x 2
4
4
~
~ --(1 - x cos t) 2 + (x sin t ) 2
(1 - a)2
4
et l'application constante
2
est intégrable sur le segment
(1 - a)
[0 ; rr ] (cf. aussi la Remarque 2) du § 3.5 .1 p. 19 1).
D ' après le théorème de dérivation sous le signe forr, l' application l e st de classe C
1 sur] - l ; 1 [ et:
I
r a F
r 2x - 2cos t
1 (x) = Jo ~(x,t) dt = Jo l -2xcos t + x 2 dt
1 - u 2
fo
+oo
2x - 2 - -
1 + u 2
2du
1 + u 2
fo
+oo
(x - 1) + (x + l )u 2
= 4
d u
o ((x - 1)2 + (x + l)2 u2)(l + u2 )
2 fo +oo (
1
x 2 - 1
)
- -
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l + u2
(x - 1)2 + (x + 1)2u2
= ~ [ Arctan u + Arctan (x +
1
u )] +oo = 0,
X
X- 1
Q
x+ l
car - - < O.
x - 1
D'autre part : I ' (O) =O.
(si X# 0)
Ainsi, l est constante sur] - 1; l [ ; de plus, l (0) = O .
Réponse:
{
0
l (x) =
2rr ln lx l
si X E] - 1; J [
si x E] - oo; -l [U]l; +oo[.
d'où /(x)=2 f
0
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