"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
1
• En 0 : le changement de variable y = - nous ramène à l'étude
X
Réponse : converge.
e) • Montre r que difféomorphisme de [l ; +oo[ sur [l ; +oo[, qu'on notera rp . Par
le changement de variable y = rp(x) , l'intégrale impropre
/i -> +oo sin (rp(x)) dx e st d e même n a ture que
li
->+oo
sin y
1
dy.
l + - -
rp - l (y)
• Obtenir successivement, lorsque y tend vers +oo :
et déduire :
• !i-> +oo sin y dy diverge,
li
->+ oo sin y
•
- - d y converge,
1
y
[ "' "' +
00
(ln y )
•li
0 ? dy est absolument convergente.
Réponse : diverge.
Une intégration par parties donne: V X E [l ; +oo[,
{ X
X 1 { X
11
e-vîrLl sin x dx = [ - cosx e- YîrLlJ
1
- 2
l
1
g(x ) dx,
où
COS X e - ./fïLl
g(x)= - - - -
x,JïllX
Comme
lx (ln x) 2 g(x) I ::( (ln x) ~ e- ~ = e i ln (ln x) -./!ïLl----+ O
x-> +oo
1
et que x r------+
2
est intégrable sur [2; +oo[
x (ln x )
(Exemple de Bertrand, 3.1.3 5) p. 162), on déduit que g est
intégrable sur [l ; +oo[.
D'autre part cos X e- ./iiiX -----+ O.
X--> +oo
li
->+oo COS (
Montrer que
. dt converge, en utilisant un
1
t + smt
développement asymptotique lorsque t tend vers +oo :
cos t
t +sin t
cos t
1 .
= cos t (i +o (~))
Sin t
t
t
l + -
t
= COS ( + O (_!_).
t
, 2
Réponse: O.
Montrer d'abord la convergence des intégrales qui interviennent.
i re méthode
Soit X E ] ~; +oo [ .
1 ) 1 { Î sin t dt _ [ Î sin t dt 1
lo x + t
lo t
Io
! x sint I o! x
=
dt :::;;
- - dt
o t(x+ t )
o x+ t
= x (ln (x + ~) - ln x) -----+ O.
2
x--> O+
2) 1 { x sint dt - J x sin t dt l
11 X + t
I t
=If x xsint dt l ::( f x ~ dt
Î t(x + t)
Î t2
= X (~ - 2-) : : ( 2x -----+ Q.
n
X
n x--> 0+
ze méthode
Pour tout x > 0 :
!o
+oo sin t
_ 1 +oo sin (u - x)
- - dt -
du
O
X + t u=x +i x
U
j
+oo sin u
1 +oo cos u
= cosx
- - du - sin x
- - du.
X
U
X
U
j
+oo sin u
!o+oo sin u
D'une part,
- - du -----+
- - du
X
U
X-->0 + 0
U
'
intégrale impropre convergente.
D 'autre part, pour tout x de ]O; 1] :
11
+00 cos u 1 11 du lli+oo cos u 1
- - du ::(
- +
- - du
X
U
X
U
1
U
1
r +oo cos u 1
= -ln x + li - u - du ,
1
+ 00 cos u
donc: sin x
- - du -----+ O.
x
U
x--> O+
li
-> +oo sint
Remarquer d'abord que
- - dt converge, d'où l'exis1
t
1
+oo sint
tence de
- - dt, pour tout x de ]O; +oo[ .
X
f
Pour 0 < x < X , on a, par deux intégrations par parties :
1
X sin t
[ cos t ] X 1 X cos t
-
dt- - -
-
-
dt
X
(
-
t
X
X
(2
= [ - cos t]x - ( [ sin t ] x + 2 1X sint dt)
f
X
(2
X
X
(3
= [ - cost _ sin t ]x _ 2 1X sin t dt.
f
(2
X
X
( 3
1 595
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• En 0 : le changement de variable y = - nous ramène à l'étude
X
Réponse : converge.
e) • Montre r que difféomorphisme de [l ; +oo[ sur [l ; +oo[, qu'on notera rp . Par
le changement de variable y = rp(x) , l'intégrale impropre
/i -> +oo sin (rp(x)) dx e st d e même n a ture que
li
->+oo
sin y
1
dy.
l + - -
rp - l (y)
• Obtenir successivement, lorsque y tend vers +oo :
et déduire :
• !i-> +oo sin y dy diverge,
li
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•
- - d y converge,
1
y
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0 ? dy est absolument convergente.
Réponse : diverge.
Une intégration par parties donne: V X E [l ; +oo[,
{ X
X 1 { X
11
e-vîrLl sin x dx = [ - cosx e- YîrLlJ
1
- 2
l
1
g(x ) dx,
où
COS X e - ./fïLl
g(x)= - - - -
x,JïllX
Comme
lx (ln x) 2 g(x) I ::( (ln x) ~ e- ~ = e i ln (ln x) -./!ïLl----+ O
x-> +oo
1
et que x r------+
2
est intégrable sur [2; +oo[
x (ln x )
(Exemple de Bertrand, 3.1.3 5) p. 162), on déduit que g est
intégrable sur [l ; +oo[.
D'autre part cos X e- ./iiiX -----+ O.
X--> +oo
li
->+oo COS (
Montrer que
. dt converge, en utilisant un
1
t + smt
développement asymptotique lorsque t tend vers +oo :
cos t
t +sin t
cos t
1 .
= cos t (i +o (~))
Sin t
t
t
l + -
t
= COS ( + O (_!_).
t
, 2
Réponse: O.
Montrer d'abord la convergence des intégrales qui interviennent.
i re méthode
Soit X E ] ~; +oo [ .
1 ) 1 { Î sin t dt _ [ Î sin t dt 1
lo x + t
lo t
Io
! x sint I o! x
=
dt :::;;
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o t(x+ t )
o x+ t
= x (ln (x + ~) - ln x) -----+ O.
2
x--> O+
2) 1 { x sint dt - J x sin t dt l
11 X + t
I t
=If x xsint dt l ::( f x ~ dt
Î t(x + t)
Î t2
= X (~ - 2-) : : ( 2x -----+ Q.
n
X
n x--> 0+
ze méthode
Pour tout x > 0 :
!o
+oo sin t
_ 1 +oo sin (u - x)
- - dt -
du
O
X + t u=x +i x
U
j
+oo sin u
1 +oo cos u
= cosx
- - du - sin x
- - du.
X
U
X
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j
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!o+oo sin u
D'une part,
- - du -----+
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X
U
X-->0 + 0
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intégrale impropre convergente.
D 'autre part, pour tout x de ]O; 1] :
11
+00 cos u 1 11 du lli+oo cos u 1
- - du ::(
- +
- - du
X
U
X
U
1
U
1
r +oo cos u 1
= -ln x + li - u - du ,
1
+ 00 cos u
donc: sin x
- - du -----+ O.
x
U
x--> O+
li
-> +oo sint
Remarquer d'abord que
- - dt converge, d'où l'exis1
t
1
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tence de
- - dt, pour tout x de ]O; +oo[ .
X
f
Pour 0 < x < X , on a, par deux intégrations par parties :
1
X sin t
[ cos t ] X 1 X cos t
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X
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X
X
(2
= [ - cos t]x - ( [ sin t ] x + 2 1X sint dt)
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X
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