-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
·c
>0.
0
u
1
a) •'v'x E IR., - - - - -----+o.
1 +lx - ni noo
• 'v'n EN*,
fn(n)=l.
Réponse:• Un)n converge simplement sur IR. vers O.
• (fn)n ne converge pas uniformément sur IR. .
b) Réponse: 'v' n E N, /_:
00
Un (x))
2 dx = 2.
c) Puisque g 2 et fn 2 sont intégrables sur IR., l'inégalité de
Cauchy-Schwarz montre que fng est intégrable sur IR. .
Soit t: > 0 fixé. Il existe A E IR.' f- tel que :
1
- A
r +oo 2
-OO g2 ~ t: et lA g ~ t:.
• Pour tout n de N :
(i+oo fng) 2 ~ (i+oo fn2) (i+oo g2) ~ 2t:,
et de même (/_: fng)
2
~ 2t:.
•'v'n E N,
(/_: fng)
2
~ (/_: J}) (/_: g
2
)
~ (/_: f;) (/_: g2) .
Pour n ~ E(A) + 1, on a :
J
A 2 = JA
1
dx =
2A
-o.
- A f,,
-A (1 + (n - x))2
(n + J)2 - A2 noo
Il existe donc N E N tel que :
'v'n EN, (n ~ N ===? !A J} ~ t:).
-A
On obtient, pour tout n de N tel que n ~ N :
th t
1
1
. ,
~
- > 0 et t ~ - n'est pas mtegrable
Jt(t + 1) 1-Hoo t
t
sur [l ; +oo[, donc (cf. 3.3.2 Prop. 3 p. 183):
r ---;:= th = ! ::::;:;:: dt ~ r dt = lnx.
11 Jt(t + 1) x- ++oo li t
1
1
1
- > 0 et t ~ - e st intégrable s ur
r2 + e - t t-->+oo t2
t2
[1; +oo[, donc (cf. 3.3.1 Prop. 3 p. 182):
r +oo __ d_ t _ dt ~
r +oo dt - 2_
l x
t 2 + e- 1 x-->+oo l x t 2 - X.
Puisque/~ l, on a: f - l = o (1).
+oo
+oo
Commet ~ 1(> 0) n'est pas intégrable sur[O; +oo[, d'après
3.3.2 Prop. 1 p. 183, on a :
r (f (t) - e) dt = 0 ( r x 1 dt) '
lo
x-->+oo lo
li
x
c'est-à-dire:
f(t) dt - ex=
0
(x) ,
0
x-->+oo
1 lix
d'où: -
f (t) dt - - e.
X
O
x-->+oo
a) • En 0 : 1 )x sin ( x + ~) 1 ~ )x et x ~ )x est i ntégrable sur ]O; 1].
•En +oo:
-
1
sin (x + .!.)
.jX
X
1 (
1
. 1)
= Jx sinx cos~+ COSX Sm ~
1 (
( 1 ) )
sin x
( 1 )
= Jx sin x + 0 ~ = Jx + 0 x 312 .
r -->+oo sin x
Et l
1
../X dx converge (par une intégration par parties), 0 (x;/ 2 ) est intégrable sur [1 ; +oo[.
Réponse : converge.
sinx lnx
b)•EnO:
~ xlnx~O.
J x2 + l x-->0+
x-->O+
sinx Jnx
ln x
(lnx)
•En +oo : ~ = sinx -
+ 0 - 3
.
yX2 + l
X
X
J:
-->+oo
ln x
Et
sin x -
dx converge (par une intégration par
1
X
parties), 0 c::) est intégrable sur [1 ; +oo[.
Réponse : converge.
sinJX
c)• EnO: - - ~ 1
sh..ji x-+O+ .
• En +oo :
- - ~ - - ~
e """ >
e t
1
sin,./X 1
1
2
_ 'X 0
sh,./X " sh ..jX x-++oo
'
x2e-Jx - - 0 , donc x ~ e-Jx est intégrable sur
x-->+oo
[l; +oo[.
Réponse : converge. De plus, f est intégrable sur ]O; +oo[.
1 .
J
eix (
i
( 1 ))
d) •En +oo: ~ e
1
Cx+x- ) = ~ l + ~ + o ~
eix
( 1 )
r -++oo eix
( 1 )
= ~ + 0 x 2 , li
~ dx converge et 0 x 2 est
intégrable sur [1; +oo[.