"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
{ (1 - cos t)
- - . -
dt
I
~
(
l
1)1
le
J sin 2 t + x2cos2 t sm t
1
I
(l - cost)x 2 cos 2 r
=
&
e sintJsin 2 t +x2cos2t(sint + Jsin 2 t +x2cos2t)
1
~ (1 - cos 2 t)x 2
x2
:;;;
dt= - - COSê -----+ O.
e
sin t sin 2 ê
sin 2 e
x --.0
(ê étant fixé > 0).
On conclut : I (x) - J (x) -----+ ln 2.
x--.0+
i
l
du
c) J(x) =
u=sint O Ju2 + x2(1 - u2)
1
~
~Argsh
x
ln(l +~)-lnx
~
d) J(x)=(ln2-lnx+ o (l))(l+o(x))
x--. O+
= -lnx + ln2 + o(l),
d'où l(x) = J(x) + ln2 + o(l) = -lnx + 21n2 + o(l).
a) Montrer d'abord , pour tout x de JR+, l'existence de
fo
x ri+f2
---;:::::;::==:::;:: dt ; notons l (x) sa valeur.
o Jt(x-t)
1 ère méthode
t
Le changement de variable u = - donne :
X
l o
i J1 +x2u2
l(x)=
du.
O Ju(l - u)
Notons L = f
0
1
du
= n. On a:
lo Ju(l - u)
l o
i Ji +x2u2 -1
l l(x) - LI=
du
o
Ju(l - u)
x
2
lo
1
du
~"' 2 o Ju(I - u)
2ème méthode
Puisque :
1f X2
-----+ O.
2 x----> 0+
V x E IR+, V t E [0; x], 1 :;;; ri+fi:;;; JI+ x2,
on a, pour tout x de IR+ :
---;::::====:;::: :;;; I (x) :;;; J 1 + x2
fo
x ili
ix ili
o Jt(x - t)
o Jt(x - t)
fo
x
dt
Et
= n , pour tout x > 0 (intégrale abélienne).
o Jt(x-t)
Réponse : n.
a) En notant F : IR+ -----+ IR
l'application définie par F(x) = fox f, on a:
1
f
g(x) = - F(x) -----+ F (0) = f (0).
X
x--.Q+
b) a) Une intégration par parties donne:
lb g 2 = [xg 2 (x)]~ - 2 lb xg(x)g' (x) dx
= bg 2 (b) - ag 2 (a) - 2 lb g(f - g) ,
d'où la relation voulue.
Puis :
( (l' c') j - (f oo f 2) j )'
= lb g2 - 2 (lb g2) 1 (fo+oo f2) 1 + fo+oo f2
:;;; ag 2 (a) + fo+oo f 2 , d'où la relation voulue.
c) g 2 est continue sur [O; +oo[, positive, et l'application
br----+ lob g 2 est majorée au voisinage de +oo , donc
g 2 est intégrable sur [O; +oo[.
• L'inégalité de Cauchy-Schwarz montre alors que f g est intégrable sur [0; +oo[.
• Le rés ultat de b) a) (avec a = 1) montre alors que
bg 2 (b) admet une limite finie À lorsque b tend vers +oo. Si
À
À > 0, alors g 2 (b) ~ -, d'où la non-intégrabilité de g 2
b-->+oo b
sur [1; +oo[, contradiction.
Donc À= 0, puis, en passant à la limite quand b tend vers
+oo dans b) a) (avec a = 0):
r+oo
r+oo
lo g
2
= 2 lo fg.
1 593