"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Ainsi, (Cf) admet la droite d'équation y = x - 1 + l comme
asymptote.
b) • Six ;?: O,f(x) existe.
1
.
Six < 0, l'application t t----+ Jt3+l est continue par morceaux sur ]2x; x[ si et seulement si :
'Vt E]2x; x[, t 3 +1 > 0,
1
c'est-à-dire x ;?: -2'
La fonction t t----+ ~ est intégrable sur]-1; - ~] , et
t3 + 1
2
1
- I
dt
l =
~ ::::::: -0,894.
- ~ v t3 + 1
1
Finalement : Def(j) = [-2; +oo[.
1
• lest de classe C
1 sur ] - 2
; +oo[ et :
1
V X E) - - · +oo[
2'
, l'(x) =
2
Jsx3 + 1
3-4x 3
1
1
(~)3
X
- -
2
1
l ' (x)
+
0
1
l(x)
l
________...
( 3)1
4 : : : : : : : 0,909
•En +oo:
+oo
-
---1
l (x) ----+ 0, car t t----+ ~est intégrable sur [O; +oo[.
x-->+oo
V TJ -t- 1
y
X
~--- 0
a) Immédiat par développement.
b) 1) Puisque l, l ', l" , l+l' +.f" sont dans C.C 2 ,
la relation de a) montre que (f + 1') 2 admet une limüe finie
en +oo. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires,
en déduire quel + l ' admet une limite finie l en +oo.
En considérant t t----+ l(l)e
1 , démontrer quel admet l pour limite en +oo.
Comme l 2 est intégrable sur [O; +oo[ converge, on a alors
l = 0 , d'où fo+oo ( (f + 1')
2
)' = -(f + 1')
2 (0),
et donc
fo+oo (12 + .f"2 - 1'2)
= fo+oo ( l + l' + l")
2
+ ( l + l ') \o) ;?: O.
2) Étude du cas d'égalité.
fo+oo (12 + J"2 - 1' 2) = 0
{==} [ fo+oo (f + J' + 1")2 = 0
(f + J')
2 (0) = 0
{
l + l' + !" = 0
{==}
(f + l ') (0) = 0
Résoudre l'équation différentielle obtenue.
Réponse : Il y a égalité si et seulement s'il existe À E IR tel que :
V t E [O; +oo[, l(t) = Àe-~ sin c: -~).
.
7r
a) Changement de vanable u = 2
- t.
b) l(x)-J(x)-ln2
= { ~ (1 - cost)(
1
- - .
1
- ) dt.
Jo
J sin 2 t + x2cos2 t sm t
7r
Soit ê E]O; l [ fixé.
· I r ( 1 _ cos t) (
1
_ - .
1
) dt 1
Jo
J sin 2 t + x2cos2 t sm t
l o
f 1 - cos t l of t
~ 2
.
dt = 2
tan - dt
o smt
o
2
= -4 lncos - = -4 lncos - ----+ O.
[
f JE
ê
2 o
2 s--> O+