"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Notons J,, =
1
TC [7'
1
2
dz.
n sin- Jo 1 +cos z
2n
2z - TC
l -cos - -
1) 0 ~ rorr
2n
dz
Jo 1 + cos2z
r (
2z TC)
~ Jo 1-cos ~ dz
. TC
=TC -2n sm - ~ 0 , don c l ln- ln l ~ O.
2n noo
noo
l o
rr
dz
Io Î dz
2)
= 2
o l+cos 2 z
o l+ cos2z
= 2
- - = ,J2 Arctan -
l o
+oo dt
[
t ] +
00
t=tan z O
2 + t 2
,J2 O
TC
Donc 1,, = .j2 2 nTC ~ ,,/2.
sin -
"
00
2n
e) S'assurer que les fonctions qui interviennent sont intégrables sur les intervalles considérés.
• Pour x E JR+, le changeme nt de variable u = t x donne :
li
+oo x li+oo e-" 1
x
e1 dt=
- u x du .
1
1
u
li
+oo e - 11 1
li+oo e- "
Notons J (x) =
-
u < du et L =
-
du (qui
1
u
1
u
existe).
•On a:
Vu E [l ; +oo[, V XE [2; +oo [,
l
1
1
0 ~ u :r - 1 ~ u 2 - 1 ~ u 2.
e- u
Puisque u J--? - 1 est intégrable sur [l ; +oo[, pour tout
u 2
s > 0 fi xé, il existe U E [l ; +oo[ tel que:
f
+oo e- "
- 1
du ~ E.
u u 'i
On a alors:
'Vx E [2; +oo[, 0 ~ l +oo e:
11 (x~ - 1) du ~ s .
Puis ( U étant ainsi fi xé) :
V X E [2; +oo[,
ru e- tt ( 1 ) ( 1 ) ru e11
0 ~ J
1
-;;- u :r - 1 du ~ U x - l J
1
-;;- du .
1
Comme U x - 1 ~ 0, il existe xo E [2; +oo[ tel que :
x ->+oo
V x E [xo ; +oo[, 0 ~ Jiu e:" (u ~ -1) dx ~ s.
Finalement : V s > 0, 3x o E JR+,
'V x E [xo ; + oo[, l/(x)- L I ~ 2s ,
et donc l (x) ~ L.
x->+oo
Notons, pour tout x de ]O; l] :
1
1 1
l(x) =x
2
J (t ) dt ,
X
t
1
1 1
l(x ) = x
2 f(O) dt .
X
t
/) 'Vx E]O; l],
ll (x) - J (x)I = lx 1
1
t~ (f(t ) - f (O)) dtl
1
1 1
~ x
2 lf( t)-f(O) l dt.
X t
Soit s > 0 fi xé. Puisque f est continue en 0, il existe T/ E]O; 1 [
tel que:
V t E [0; ry] , lf(t) - f (O) I ~ ê .
Notons "'~Min(•· e !,' ,;l/(1)- f(O)ld1)-') .
Soit x E]O; T/1]. On a alors :
X 11/ ~ lf (t) - f(O) I dt ~ XE f.
11
d~
X t
X f
= XS (~ - ~) ~ ê
f
i 1
X
2 lf(t ) - f(O) I dt ~ ê
1/ t
1
1 1
et donc : x
2
IJ (t ) - f(O)I dt ~ 2s.
~
t
Ceci prouve: / (x ) - J (x ) ~ O.
x ->0+
2) J (x) = xf(O) [- ~]
1
= f (O) - x f(O) ~ f(O).
t X
x->0+
Réponse : f (0).
a) • Def(f) = ]O; +oo[.
• f est de classe C
1 sur ]O; +oo[ et :
~
V X E]Ü; +oo[, J' (x ) =
> 0
x 2
X
0
+oo
f'( x )
+
f (x)
-
•Etude en 0
1
1 1
11 t
- f (x) =
2 /l+t4t ;?!
2
X
t
X
f
1
= -1 + - ~ +oo,
X x ->O+
d'où f(x ) = ~ - oo.
x ->0+
•Etude en + oo
f (x ) - lix dt= lix (j1 + t~ -1) dt
~ e = r +oo (J1 + ~ - i) dt:::::: 0 , 153.
x->+oo
}1
t
1 591
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Notons J,, =
1
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1
2
dz.
n sin- Jo 1 +cos z
2n
2z - TC
l -cos - -
1) 0 ~ rorr
2n
dz
Jo 1 + cos2z
r (
2z TC)
~ Jo 1-cos ~ dz
. TC
=TC -2n sm - ~ 0 , don c l ln- ln l ~ O.
2n noo
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l o
rr
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Io Î dz
2)
= 2
o l+cos 2 z
o l+ cos2z
= 2
- - = ,J2 Arctan -
l o
+oo dt
[
t ] +
00
t=tan z O
2 + t 2
,J2 O
TC
Donc 1,, = .j2 2 nTC ~ ,,/2.
sin -
"
00
2n
e) S'assurer que les fonctions qui interviennent sont intégrables sur les intervalles considérés.
• Pour x E JR+, le changeme nt de variable u = t x donne :
li
+oo x li+oo e-" 1
x
e1 dt=
- u x du .
1
1
u
li
+oo e - 11 1
li+oo e- "
Notons J (x) =
-
u < du et L =
-
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1
u
1
u
existe).
•On a:
Vu E [l ; +oo[, V XE [2; +oo [,
l
1
1
0 ~ u :r - 1 ~ u 2 - 1 ~ u 2.
e- u
Puisque u J--? - 1 est intégrable sur [l ; +oo[, pour tout
u 2
s > 0 fi xé, il existe U E [l ; +oo[ tel que:
f
+oo e- "
- 1
du ~ E.
u u 'i
On a alors:
'Vx E [2; +oo[, 0 ~ l +oo e:
11 (x~ - 1) du ~ s .
Puis ( U étant ainsi fi xé) :
V X E [2; +oo[,
ru e- tt ( 1 ) ( 1 ) ru e11
0 ~ J
1
-;;- u :r - 1 du ~ U x - l J
1
-;;- du .
1
Comme U x - 1 ~ 0, il existe xo E [2; +oo[ tel que :
x ->+oo
V x E [xo ; +oo[, 0 ~ Jiu e:" (u ~ -1) dx ~ s.
Finalement : V s > 0, 3x o E JR+,
'V x E [xo ; + oo[, l/(x)- L I ~ 2s ,
et donc l (x) ~ L.
x->+oo
Notons, pour tout x de ]O; l] :
1
1 1
l(x) =x
2
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X
t
1
1 1
l(x ) = x
2 f(O) dt .
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t
/) 'Vx E]O; l],
ll (x) - J (x)I = lx 1
1
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1
1 1
~ x
2 lf( t)-f(O) l dt.
X t
Soit s > 0 fi xé. Puisque f est continue en 0, il existe T/ E]O; 1 [
tel que:
V t E [0; ry] , lf(t) - f (O) I ~ ê .
Notons "'~Min(•· e !,' ,;l/(1)- f(O)ld1)-') .
Soit x E]O; T/1]. On a alors :
X 11/ ~ lf (t) - f(O) I dt ~ XE f.
11
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X t
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= XS (~ - ~) ~ ê
f
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X
2 lf(t ) - f(O) I dt ~ ê
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1
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2
IJ (t ) - f(O)I dt ~ 2s.
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t
Ceci prouve: / (x ) - J (x ) ~ O.
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2) J (x) = xf(O) [- ~]
1
= f (O) - x f(O) ~ f(O).
t X
x->0+
Réponse : f (0).
a) • Def(f) = ]O; +oo[.
• f est de classe C
1 sur ]O; +oo[ et :
~
V X E]Ü; +oo[, J' (x ) =
> 0
x 2
X
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f (x)
-
•Etude en 0
1
1 1
11 t
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2 /l+t4t ;?!
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X
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X
f
1
= -1 + - ~ +oo,
X x ->O+
d'où f(x ) = ~ - oo.
x ->0+
•Etude en + oo
f (x ) - lix dt= lix (j1 + t~ -1) dt
~ e = r +oo (J1 + ~ - i) dt:::::: 0 , 153.
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