"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
En +oo:
x2
1 (
1) (n2 )
l(x) = -
2
Arctan ~ n -Arctan ~ + S +o(l)
(
n
1) 1 1 + x
2
+nx -x - - Arctan - +-ln - -
2
X
2
x2
= - x2
2
(~ + 0 (x 1 2)) ( n - ~ + 0 (x 1 2))
1T2
(JT 1 ( 1 ))
+ g- + nx-x
2
-~+o ~
+o(l)
1T2
3
= 8 + 2 +o(l).
En 1:
n 2
3n
1
/(1) = -16 + 4 + 2ln 2 .
1T2
Réponse : a = -, b = -n, c = 1, et, dans ce cas, l'intégrale
4
3n 2
3n
3
1
vaut l6 - '4 + 2 - 2
1n2 ' .:::' . 0,647783.
Poser t = tan x , puis décomposer en éléments simples.
ad - be d
ac + bd n
Réponse: 2
2
ln - + 2
2
-
2
.
c +d
c
c +d
-ln(l - t)
•Pour x E] - 1; 1 [,t r---+
est intégrable sur JO; x],
t
ln (1 - t)
car
-----+ 1.
t
t-->O
.
t
• Le changement de variable u = - - donne :
t - 1
1(-x )- r ln(l - u) du
x - 1
Jo u(l - u)
Enfin:
=
- + - - ln(l - u) du
fo
x ( l
1 )
o u 1-u
fo
x ln (1 - u)
= -f(x) +
du.
0
1 - u
r _ 1n_(_ l _ - _u_) du= [-~(ln(l - u ))2] x
} 0
l - u
2
0
1
= - - (ln(l -x)) 2 .
2
xk
• D'abord, x r---+ 2
est intégrable sur [O; +oo[ , car
X n + 1
k
Q !(
x
~ xk- 2 n et k-2n :::;; -2 < - 1 .
"' x2n + 1 x--> +oo
la
+oo k
•En notant h =
2
x
dx, montrer, par le changement
0
X n + 1
1
de variable u = -, que : h = l2n- k-2·
X
•Donc lk = ~ (1k + l2n- k-2 )
la
+oo n-1 ( 1
)
=
X
_ ( xk- n+l + x-k+n-1) dx.
0
x2n + 1 2
Remarquer : V t E]Ü; + oo[. ~ (1 + ~) ?;! 1.
1 la+oo dt
1T
D'où h ?;! 1 11 _ 1 = -
- 2
- - = -
2
.
r=x" n o t + 1
n
,
1T
Reponse: - .
2n
la
!
cos t
la
1
d y
a)
dt =:
-;;;::;== :::;:
0 Jsin4t + x4
y = srn r 0 J y4 + x4
1
et u r---+ Ju4+l est intégrable sur [O; +oo[.
et u r---+ ~est intégrable sur [O; +oo[.
c) Par le changement de variable y = nx et en remarquant que
l
y r---+
2
est n-périodique, on a : V n E N*
1 +sin y
r dx
1 r 1' dy
r dy
Jo l + sin 2 nx = ;; Jo 1 + sin 2 y = Jo 1 + sin 2 y
{ ~
dy
r +oo dt
=
2 Jo l + sin2 y r=~n y
2 Jo 1 + 2t 2
[
J
+oo 1T ,j2.
= h Arctan (t,,/2)
0
= -
2
- .
dx
. 2
ne dépend pas den (n E N*).
1 + sm nx
Ainsi, Ion
la
n sin x
1 la"n
. y
sm -
d) ln=
dx = -
O l + cos2nx y =nx n o
n
dy
1 + cos2y
. y
1 n-1
1
(k+ l )n
srn -
= - L:
n
dy
n k=O k1'
1 + cos2y
. z + kn
1 n-1 lan srn - - -
- - 2:::
n
dz
z='Y=-k1' n
o 1 + cos2z
k=O
. z 1T d
1 foJr 1 ( n- I + k )
- -
sm - - -
z
- n o 1 + cos2z ~
n
·
Comme
11-l
. l
in
' °"" i : +b ~ - e
~ e
n
=e fl - -.k=O
1 - e!ff
i
(
2z - n
2z - n )
= - - n- cos - - - + isin - - - ,
sin_
2n
2n
2n
2z - n
1
foJr cos - - -
on déduit: l n = - - n2 n
2
dz.
nsin _
o 1 + cos z
2n
0
c
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1 (
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l(x) = -
2
Arctan ~ n -Arctan ~ + S +o(l)
(
n
1) 1 1 + x
2
+nx -x - - Arctan - +-ln - -
2
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2
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= - x2
2
(~ + 0 (x 1 2)) ( n - ~ + 0 (x 1 2))
1T2
(JT 1 ( 1 ))
+ g- + nx-x
2
-~+o ~
+o(l)
1T2
3
= 8 + 2 +o(l).
En 1:
n 2
3n
1
/(1) = -16 + 4 + 2ln 2 .
1T2
Réponse : a = -, b = -n, c = 1, et, dans ce cas, l'intégrale
4
3n 2
3n
3
1
vaut l6 - '4 + 2 - 2
1n2 ' .:::' . 0,647783.
Poser t = tan x , puis décomposer en éléments simples.
ad - be d
ac + bd n
Réponse: 2
2
ln - + 2
2
-
2
.
c +d
c
c +d
-ln(l - t)
•Pour x E] - 1; 1 [,t r---+
est intégrable sur JO; x],
t
ln (1 - t)
car
-----+ 1.
t
t-->O
.
t
• Le changement de variable u = - - donne :
t - 1
1(-x )- r ln(l - u) du
x - 1
Jo u(l - u)
Enfin:
=
- + - - ln(l - u) du
fo
x ( l
1 )
o u 1-u
fo
x ln (1 - u)
= -f(x) +
du.
0
1 - u
r _ 1n_(_ l _ - _u_) du= [-~(ln(l - u ))2] x
} 0
l - u
2
0
1
= - - (ln(l -x)) 2 .
2
xk
• D'abord, x r---+ 2
est intégrable sur [O; +oo[ , car
X n + 1
k
Q !(
x
~ xk- 2 n et k-2n :::;; -2 < - 1 .
"' x2n + 1 x--> +oo
la
+oo k
•En notant h =
2
x
dx, montrer, par le changement
0
X n + 1
1
de variable u = -, que : h = l2n- k-2·
X
•Donc lk = ~ (1k + l2n- k-2 )
la
+oo n-1 ( 1
)
=
X
_ ( xk- n+l + x-k+n-1) dx.
0
x2n + 1 2
Remarquer : V t E]Ü; + oo[. ~ (1 + ~) ?;! 1.
1 la+oo dt
1T
D'où h ?;! 1 11 _ 1 = -
- 2
- - = -
2
.
r=x" n o t + 1
n
,
1T
Reponse: - .
2n
la
!
cos t
la
1
d y
a)
dt =:
-;;;::;== :::;:
0 Jsin4t + x4
y = srn r 0 J y4 + x4
1
et u r---+ Ju4+l est intégrable sur [O; +oo[.
et u r---+ ~est intégrable sur [O; +oo[.
c) Par le changement de variable y = nx et en remarquant que
l
y r---+
2
est n-périodique, on a : V n E N*
1 +sin y
r dx
1 r 1' dy
r dy
Jo l + sin 2 nx = ;; Jo 1 + sin 2 y = Jo 1 + sin 2 y
{ ~
dy
r +oo dt
=
2 Jo l + sin2 y r=~n y
2 Jo 1 + 2t 2
[
J
+oo 1T ,j2.
= h Arctan (t,,/2)
0
= -
2
- .
dx
. 2
ne dépend pas den (n E N*).
1 + sm nx
Ainsi, Ion
la
n sin x
1 la"n
. y
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d) ln=
dx = -
O l + cos2nx y =nx n o
n
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1 + cos2y
. y
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1
(k+ l )n
srn -
= - L:
n
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1 + cos2y
. z + kn
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- - 2:::
n
dz
z='Y=-k1' n
o 1 + cos2z
k=O
. z 1T d
1 foJr 1 ( n- I + k )
- -
sm - - -
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n
·
Comme
11-l
. l
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' °"" i : +b ~ - e
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1 - e!ff
i
(
2z - n
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= - - n- cos - - - + isin - - - ,
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2n
2n
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1
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on déduit: l n = - - n2 n
2
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2n