"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
sin x - x
1
38 sin x - x
et
2
dx ~ 0
s
X
s ---->0+
puisque x f-----*
est
x2
intégrable sur JO; lJ.
,
3
Reponse: 4
1n 3.
q) Montrer d'abord l'intégrabilité.
•I = f Î sin2x lntan x dx ~ - 1, d'oùl = O.
lo
y= 2 - x
• J = la if sin 2x ln sin x dx
"
!!.
[
. 2 l .
J 2 Io 2 . 2 COS X dx
= Stn X n StnX -
Stn X - .0
o
sm x
1 [ if
1
= - 2 Jo sin2x dx = - 2 .
1
Réponse : 0 et - - 2·
r) Montrer d'abord l'intégrabilité, puis utiliser le changement
de variable y = rr - x.
rr2
Réponse: - 2
ln2.
a) • D'après les théorèmes généraux, f est de classe C 1 sur JO; 1 J
et :
'Vx EJO; lJ,
1
l
2
1
f (x) = 2x sin - - - cos - .
x2
x
x2
f(x) - f(O)
. l
, .
•
= x sin 2 -----+ 0, donc f est denvable
X - 0
X
x --+ 0
e n 0 et f'(O) =O.
Ainsi, f est dérivable sur [O; lJ et :
l
2
1
2x sin - - - cos -
x2
x
x2
0
f'(x) = 1
si X EJO; lJ
si X= Û
. 1
l
2x sin xl si
b) Comme x f-----*
0
si
x EJO; lJ 1 est continue
x=O
sur [O; 1], il suffit de prouver que
1
2
l
- cosh : X f-----*
X
O x
2
si
XX =EJ0
0
; lJ 1
.
n'est pas intégrable
si
sur JO; lJ .
'
l
A l'aide du changement de variable X
l 'intég rabilité de h s ur JO; lJ é quivaut à celle d e
1
3
y f-----* 2,JYlsin y l 2
y - 2 sur [1; +oo[ .
lsin y l
Comme on sait que y f-----* - - n'est pas intégrable sur
y
[1; +oo[, il en résulte que h ne l'est pas sur JO; 1], et finalement f' n'est pas intégrable sur JO; lJ.
• Si lcosa l =!= 1,
[O; rr J.
x f-----*
est continue sur
1 +cos a cosx
Si cosa = -1 , - - - - -
1 +cos a cosx
1
2
~
-
> Û
1 - COSX x--+0+ x2
1
donc x f-----*
n'est pas intégrable sur JO; rr J.
1 +cos a cosx
De même pour le cas où cos a = 1 .
• Nous supposons donc lcosal =/= 1 (c'est-à-dire : sin a=/= 0).
f
0
rr _ _ dx _. __
Jo 1 + cosacosx
- 2 r+oo _____ dt _ _ _ _
- lo 1 + cosa + (l - cosa)t2
2
r+
00
du
= J 1 -cos2a Jo 1 + u 2
rr
lsina l
Réponse : f
0
rr
dx
existe si et seule me nt si
Jo 1 + cosa cosx
.
rr
sm a =/= 0 , et vaut alors - -.
lsina l
1) L'application f: x f-----* x(Arctan x) 2 - ax - b - !:. est
X
continue sur [l ; +oo[ et, au voisinage de +oo:
f(x) = ( :
2
-a) x+o(x) ,
rr2
donc, si a =/= 4 , f n'est pas intégrable sur [l; +oo[.
rr2
Supposons a = - ; alors :
4
(
rr
1) 2 rr2
c
f(x) = x - - Arctan -
- - x - b - -
2
X
4
X
= -rr xArctan ~ + x (Arctan~)
2
- b - ~
= - nx (~ + 0 (x~)) +x c~ + 0 C 1 3))
- b - !:. = (- rr - b) +
1 - c + 0 (_.!._) .
X
X
x2
Ainsi, f est intégrable sur [ 1; +oo[ si et seulement si
(a = :
2
, b = -rr , c = 1) , condition que nous supposons
maintenant réalisée.
2) A l'aide d'intégrations par parties:
l (x) = f ( x(Arctanx )
2 - :
2
x + rr - ~) dx
=-(Arctanx)
2 -
- - Arctanxdx - -- +nx - ln x
x2
f x2
rr2 x2
2
l + x 2
8
x 2 + 1
rr 2 x 2
= - - (Arctanx) 2 - - - +nx - ln x
2
8
1
-xArctan x + - ln (1 + x2).
2
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0
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1
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et
2
dx ~ 0
s
X
s ---->0+
puisque x f-----*
est
x2
intégrable sur JO; lJ.
,
3
Reponse: 4
1n 3.
q) Montrer d'abord l'intégrabilité.
•I = f Î sin2x lntan x dx ~ - 1, d'oùl = O.
lo
y= 2 - x
• J = la if sin 2x ln sin x dx
"
!!.
[
. 2 l .
J 2 Io 2 . 2 COS X dx
= Stn X n StnX -
Stn X - .0
o
sm x
1 [ if
1
= - 2 Jo sin2x dx = - 2 .
1
Réponse : 0 et - - 2·
r) Montrer d'abord l'intégrabilité, puis utiliser le changement
de variable y = rr - x.
rr2
Réponse: - 2
ln2.
a) • D'après les théorèmes généraux, f est de classe C 1 sur JO; 1 J
et :
'Vx EJO; lJ,
1
l
2
1
f (x) = 2x sin - - - cos - .
x2
x
x2
f(x) - f(O)
. l
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•
= x sin 2 -----+ 0, donc f est denvable
X - 0
X
x --+ 0
e n 0 et f'(O) =O.
Ainsi, f est dérivable sur [O; lJ et :
l
2
1
2x sin - - - cos -
x2
x
x2
0
f'(x) = 1
si X EJO; lJ
si X= Û
. 1
l
2x sin xl si
b) Comme x f-----*
0
si
x EJO; lJ 1 est continue
x=O
sur [O; 1], il suffit de prouver que
1
2
l
- cosh : X f-----*
X
O x
2
si
XX =EJ0
0
; lJ 1
.
n'est pas intégrable
si
sur JO; lJ .
'
l
A l'aide du changement de variable X
l 'intég rabilité de h s ur JO; lJ é quivaut à celle d e
1
3
y f-----* 2,JYlsin y l 2
y - 2 sur [1; +oo[ .
lsin y l
Comme on sait que y f-----* - - n'est pas intégrable sur
y
[1; +oo[, il en résulte que h ne l'est pas sur JO; 1], et finalement f' n'est pas intégrable sur JO; lJ.
• Si lcosa l =!= 1,
[O; rr J.
x f-----*
est continue sur
1 +cos a cosx
Si cosa = -1 , - - - - -
1 +cos a cosx
1
2
~
-
> Û
1 - COSX x--+0+ x2
1
donc x f-----*
n'est pas intégrable sur JO; rr J.
1 +cos a cosx
De même pour le cas où cos a = 1 .
• Nous supposons donc lcosal =/= 1 (c'est-à-dire : sin a=/= 0).
f
0
rr _ _ dx _. __
Jo 1 + cosacosx
- 2 r+oo _____ dt _ _ _ _
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2
r+
00
du
= J 1 -cos2a Jo 1 + u 2
rr
lsina l
Réponse : f
0
rr
dx
existe si et seule me nt si
Jo 1 + cosa cosx
.
rr
sm a =/= 0 , et vaut alors - -.
lsina l
1) L'application f: x f-----* x(Arctan x) 2 - ax - b - !:. est
X
continue sur [l ; +oo[ et, au voisinage de +oo:
f(x) = ( :
2
-a) x+o(x) ,
rr2
donc, si a =/= 4 , f n'est pas intégrable sur [l; +oo[.
rr2
Supposons a = - ; alors :
4
(
rr
1) 2 rr2
c
f(x) = x - - Arctan -
- - x - b - -
2
X
4
X
= -rr xArctan ~ + x (Arctan~)
2
- b - ~
= - nx (~ + 0 (x~)) +x c~ + 0 C 1 3))
- b - !:. = (- rr - b) +
1 - c + 0 (_.!._) .
X
X
x2
Ainsi, f est intégrable sur [ 1; +oo[ si et seulement si
(a = :
2
, b = -rr , c = 1) , condition que nous supposons
maintenant réalisée.
2) A l'aide d'intégrations par parties:
l (x) = f ( x(Arctanx )
2 - :
2
x + rr - ~) dx
=-(Arctanx)
2 -
- - Arctanxdx - -- +nx - ln x
x2
f x2
rr2 x2
2
l + x 2
8
x 2 + 1
rr 2 x 2
= - - (Arctanx) 2 - - - +nx - ln x
2
8
1
-xArctan x + - ln (1 + x2).
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