"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
1
.
c) • x ~ x~ est contmue et ~ 0 sur [l ; +oo[, et
1
1
4 ~ . ~ - 3
, d'où l'intégrabilité de f sur [l ; +oo[.
xvx~ + l x-->+oo x2
r+oo dx
• J1 x Vx2 + 1
1 li+oo dy
f +oo z2
-
= 2
- - dz
2 1
y,Vy + 1 z=.lfy+Ï V2 z 4 - 1
f
+oo dz f +oo dz
= V2 1 + z 2 - V2 1 - z 2
= [ Arctan z]:: - ~ [in l l + z IJ+oo .
v-2
2
1 - Z V2
71:
4
1 -V2+ 1
Réponse : - - Arctan(,v2) +- ln 4
;;:;'.:::'. 1,923 411.
2
2 v2 - 1
d) • En notant l = f
0
JC
x .
dx, le changement de variable
Jo 1 +srn x
y = n: - x donne :
lo
1C 71: - y
lo1C
dy
l =
dy = 71:
- - - - l
o 1 + sin y
o 1 + sin y
'
d'où l = !:.
2
f
0
rr
dy
Jo 1 +sin y
. {01C dy
=
2 r+ oo dt
Jo l +sin y t= tan ~ Jo (1 + t )2
[
2 ]+oo
= - t + 1 0 = 2.
Réponse : n: .
e) • Montrer d'abord l'intégrabilité.
• En notant/ la valeur, et en utilisant une intégration par par1
ties (u = (x 2 + 3x + 3)e-xsin x, v' =
3
), obtenir :
(x + 1)
21 = fo+oo (cx
2 + 3x + 3)cosx - (x
2 + x)sin x )
e-X
--~2 dx.
(x + 1)
Intégrer à nouveau par parties pour arriver à :
roo
21 = 3 - 2 Jo (x cosx + 2 sin x)e-x dx.
On sait calculer la dernière intégrale (cf. Analyse MPSI, 9.3 3 )).
,
1
Reponse : 2 .
f) Poser u = Jx2=1.
,
71:
Reponse: 4
g) Poser ,
2n:--/3
Reponse : -
3
- .
[f=X
i) Poser y =y~ , puis décomposer en éléments simples.
Réponse : existe et vaut n: ( j a ~
1
- 1).
1
j) Poser y = - , puis mettre un trinôme sous forme canonique.
X
71:
Réponse : existe et vaut r:L .
vab
k) Montrer l'intégrabilité sur JO; 1 [. Une intégration par parties et le changement de variable y = ./l=X fournisse nt
f
ln x
2ln x
1 + ./l=X
l (x) =
3 dx = r.---:: + 2 ln
.Jl=X"
(l -x)2
v l -x
1 -
1 -x
• En o+ :
1-./l=X
1 (x) = 2 ln x .JI=X +4 ln ( 1 + ./l=X)
1 -x
2x ln x
(1 + .}f-=x).)f-=x
+ 4 ln (1 + ./l=X) ~ 4 ln 2.
•En i- : 1 (x) -----+ O .
x--> 1Réponse : - 4 ln 2.
x-.o+
l ) Change ments de vari abl e t = Jx, intégration par parties.
Réponse : - 2n:.
m) f (1n(x+ l ) -ln x - x~ l)dx=xln (1 +~)·
Réponse : 1.
n) Une intégration par parties et le changement de variable
u = Jx donnent :
l o
+oo 2 Arctan x - n:
~ +oo u 2
- - - - - dx = -4
- - du.
0
2,,/X
O
u 4 +1
Réponse: -n:J2 .
o) Intégration par parties, puis changement de variable
e = Arccosx (ou u = /2 et Réponse : 2 - n: .
l
+ oo sin 3 x
p)V s > 0, 4
--dx
s
x 2
=3
- - dx- - dx
l
+oo sin x
l + oo sin 3x
s
x 2
s
x 2
= 3
- - dx -
- - - du
l
+oo sin x
~ +oo 3sinu
u=3x
s
x 2
3ê
u 2
_ 1 3 s sin x _ 1 3 s sin x - x
1
- 3
- 2
dx - 3
2
dx + 3 ln 3,
s
X
s
X
0
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c) • x ~ x~ est contmue et ~ 0 sur [l ; +oo[, et
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, d'où l'intégrabilité de f sur [l ; +oo[.
xvx~ + l x-->+oo x2
r+oo dx
• J1 x Vx2 + 1
1 li+oo dy
f +oo z2
-
= 2
- - dz
2 1
y,Vy + 1 z=.lfy+Ï V2 z 4 - 1
f
+oo dz f +oo dz
= V2 1 + z 2 - V2 1 - z 2
= [ Arctan z]:: - ~ [in l l + z IJ+oo .
v-2
2
1 - Z V2
71:
4
1 -V2+ 1
Réponse : - - Arctan(,v2) +- ln 4
;;:;'.:::'. 1,923 411.
2
2 v2 - 1
d) • En notant l = f
0
JC
x .
dx, le changement de variable
Jo 1 +srn x
y = n: - x donne :
lo
1C 71: - y
lo1C
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l =
dy = 71:
- - - - l
o 1 + sin y
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'
d'où l = !:.
2
f
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Jo 1 +sin y
. {01C dy
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2 r+ oo dt
Jo l +sin y t= tan ~ Jo (1 + t )2
[
2 ]+oo
= - t + 1 0 = 2.
Réponse : n: .
e) • Montrer d'abord l'intégrabilité.
• En notant/ la valeur, et en utilisant une intégration par par1
ties (u = (x 2 + 3x + 3)e-xsin x, v' =
3
), obtenir :
(x + 1)
21 = fo+oo (cx
2 + 3x + 3)cosx - (x
2 + x)sin x )
e-X
--~2 dx.
(x + 1)
Intégrer à nouveau par parties pour arriver à :
roo
21 = 3 - 2 Jo (x cosx + 2 sin x)e-x dx.
On sait calculer la dernière intégrale (cf. Analyse MPSI, 9.3 3 )).
,
1
Reponse : 2 .
f) Poser u = Jx2=1.
,
71:
Reponse: 4
g) Poser ,
2n:--/3
Reponse : -
3
- .
[f=X
i) Poser y =y~ , puis décomposer en éléments simples.
Réponse : existe et vaut n: ( j a ~
1
- 1).
1
j) Poser y = - , puis mettre un trinôme sous forme canonique.
X
71:
Réponse : existe et vaut r:L .
vab
k) Montrer l'intégrabilité sur JO; 1 [. Une intégration par parties et le changement de variable y = ./l=X fournisse nt
f
ln x
2ln x
1 + ./l=X
l (x) =
3 dx = r.---:: + 2 ln
.Jl=X"
(l -x)2
v l -x
1 -
1 -x
• En o+ :
1-./l=X
1 (x) = 2 ln x .JI=X +4 ln ( 1 + ./l=X)
1 -x
2x ln x
(1 + .}f-=x).)f-=x
+ 4 ln (1 + ./l=X) ~ 4 ln 2.
•En i- : 1 (x) -----+ O .
x--> 1Réponse : - 4 ln 2.
x-.o+
l ) Change ments de vari abl e t = Jx, intégration par parties.
Réponse : - 2n:.
m) f (1n(x+ l ) -ln x - x~ l)dx=xln (1 +~)·
Réponse : 1.
n) Une intégration par parties et le changement de variable
u = Jx donnent :
l o
+oo 2 Arctan x - n:
~ +oo u 2
- - - - - dx = -4
- - du.
0
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O
u 4 +1
Réponse: -n:J2 .
o) Intégration par parties, puis changement de variable
e = Arccosx (ou u = /2 et Réponse : 2 - n: .
l
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p)V s > 0, 4
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x 2
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l
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