-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Ceci montre quel g est intégrable sur l et que :
Ni (fg) = ! llg l : : : _; ; ll lllp ll g llq ·
a) La propriété est triviale si E f est vide ou est un singleton.
S oientu , v E Et tel s que u < v, r E]O; 1(,
w = ru+ (1 - r )v. Il existe p ,r,s E [l ; +oo[ tels que :
1
1
1
p = - r = - s= -
w'
u'
v ·
rp
Montrer qu'en notant a = - , on a: p = a r + (1 - a)s .
r
1
Par hypothèse, l E CC et l E C.CS, donc 1 l l"r E CL, a et
1
ll l(l - a)s E C.C,T=;;, d 'où , d'après l 'exer cice 3 .2 .3 ,
ll lar+(l - a)s E c.c, 1 , c'est-à-dire Il l" E C.C, 1 , ou encore
l E CJ:, P.
Ceci montre w E E /Ainsi, E f est une partie convexe de IR, donc est un intervalle
de IR .
b) Remarquer d'abord que, puisque lest continue et # 0 ,
pour tout t de [l ; +oo[, ll l ll1 > O.
Avec les notations de a) :
f Il l" = f ll l"r ll l(l - a)s
d'où:
:::.;; ( / (l ll "r) ~ )" ( / ( 1l 10 - als ) '~a ) 1- a
= ( / Il l') " ( / !l is ) l - a ,
T
1-r
ll l llp : : : _; ; ( / ll lr ) ~ ( / ll l
5
) s = ll l ll;l ll llJ - r ,
et donc:
CC n c.c,s, on a p E Et, donc l E C.C,P, e t ainsi
c.c,r n c.c,s c C.C,P.
•Si 1 :::.;; r < p < s = +oo, alors toute l de CC n C.C,
00 est
bo rn ée , d o nc Il l" = llnf l" -r :::. ;; l lirl l lll ~r , ce qui
montre l E CL'' , et donc CC n C.C,
00 c C.C,P.
1) Soient a E IR (à choisir ultérieurement) et, pour tout n de
N*, ln : IR --+ IR
, qui est clairement continue.
Xt---+
n a
(lx l+n)
2
n"
Commeln ;?: O et f,, (x) ~ - 2
,
x---> ±oo x
pourtout p de [1; + oo[,f,, E C.C,P.
De plus, ln est bornée, donc ln E C.C,
00 .
On a, pour tout p de [l ; +oo[ et tout n de N* :
f
+oo (
n"
)P
ll ln ll g = -oo
(!x i + n)2
dx
= 2n" P {O+oo
dx
= _2_ n (a - 2)p+ I
lo (x + n)2" 2p - 1
D'autre part : Vn E N* , ll l nlloo = n" - 2 .
Il existe a E IR tel que :
{
si p' # +oo,
si p' = +oo,
(a - 2) p ' + 1 < 0 < (a - 2) p + 1
a - 2 < 0 < (a - 2) p + 1.
On a alors : ll f,,1 1" ---+ + oo et lll nll"' ---+ O.
noo
noo
2) Soient f3 E IR (à choisir ultérieurement) et, pour tout n de
N*, g,, : IR --+ IR
, qui est clairement continue.
x t---+ nll e - nlxl
Comme gn ;?: 0 et x 2 g,, (x) ------+ 0 , po ur tout p de
x-> ±oo
[1 ; +oo[, gn E CJ:,P.
De plus, g,, est bornée, donc g,, E C.C,
00 .
On a, pour tout p de [l ; +oo[ et tout n de N* :
D'autre part : "ln E N*, l lgn l loo = n/3.
1
si p' # +oo,
Tl existe f3 E IR tel que : .
1
SI p = +oo,
l
l
- < {3
1
0 < f3 < - .
p
On a alors: ll gn ll p - - - 7 0 et ll g11 ll p 1 - - - 7 +OO .
11 00
1100
a) Après décomposition en éléments simples :
{ X
X4 + 1
11 x3(x + l )(x2 + 1) dx
[ X ( l
]
l
X+ 1 )
= 11 x3 - x2 - x + 1 + x2 + 1 dx
[
l
]
l
( x2 + l )
] X
= - -
+ - + - ln
+ Arctan x
2x2
x
2
(x + 1) 2
1
n
1
1
Réponse : 4 - 2
+ 2
tn2 ~ 0,631972.
h)
f
x
4
2 f dy
(x 5 + l) ~ dx y=(x~+ 1) ! 5 y2
2
1.
5 (x5 + 1) 2
,
2
Reponse: 5 .
1 587
0
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Ceci montre quel g est intégrable sur l et que :
Ni (fg) = ! llg l : : : _; ; ll lllp ll g llq ·
a) La propriété est triviale si E f est vide ou est un singleton.
S oientu , v E Et tel s que u < v, r E]O; 1(,
w = ru+ (1 - r )v. Il existe p ,r,s E [l ; +oo[ tels que :
1
1
1
p = - r = - s= -
w'
u'
v ·
rp
Montrer qu'en notant a = - , on a: p = a r + (1 - a)s .
r
1
Par hypothèse, l E CC et l E C.CS, donc 1 l l"r E CL, a et
1
ll l(l - a)s E C.C,T=;;, d 'où , d'après l 'exer cice 3 .2 .3 ,
ll lar+(l - a)s E c.c, 1 , c'est-à-dire Il l" E C.C, 1 , ou encore
l E CJ:, P.
Ceci montre w E E /Ainsi, E f est une partie convexe de IR, donc est un intervalle
de IR .
b) Remarquer d'abord que, puisque lest continue et # 0 ,
pour tout t de [l ; +oo[, ll l ll1 > O.
Avec les notations de a) :
f Il l" = f ll l"r ll l(l - a)s
d'où:
:::.;; ( / (l ll "r) ~ )" ( / ( 1l 10 - als ) '~a ) 1- a
= ( / Il l') " ( / !l is ) l - a ,
T
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ll l llp : : : _; ; ( / ll lr ) ~ ( / ll l
5
) s = ll l ll;l ll llJ - r ,
et donc:
CC n c.c,s, on a p E Et, donc l E C.C,P, e t ainsi
c.c,r n c.c,s c C.C,P.
•Si 1 :::.;; r < p < s = +oo, alors toute l de CC n C.C,
00 est
bo rn ée , d o nc Il l" = llnf l" -r :::. ;; l lirl l lll ~r , ce qui
montre l E CL'' , et donc CC n C.C,
00 c C.C,P.
1) Soient a E IR (à choisir ultérieurement) et, pour tout n de
N*, ln : IR --+ IR
, qui est clairement continue.
Xt---+
n a
(lx l+n)
2
n"
Commeln ;?: O et f,, (x) ~ - 2
,
x---> ±oo x
pourtout p de [1; + oo[,f,, E C.C,P.
De plus, ln est bornée, donc ln E C.C,
00 .
On a, pour tout p de [l ; +oo[ et tout n de N* :
f
+oo (
n"
)P
ll ln ll g = -oo
(!x i + n)2
dx
= 2n" P {O+oo
dx
= _2_ n (a - 2)p+ I
lo (x + n)2" 2p - 1
D'autre part : Vn E N* , ll l nlloo = n" - 2 .
Il existe a E IR tel que :
{
si p' # +oo,
si p' = +oo,
(a - 2) p ' + 1 < 0 < (a - 2) p + 1
a - 2 < 0 < (a - 2) p + 1.
On a alors : ll f,,1 1" ---+ + oo et lll nll"' ---+ O.
noo
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2) Soient f3 E IR (à choisir ultérieurement) et, pour tout n de
N*, g,, : IR --+ IR
, qui est clairement continue.
x t---+ nll e - nlxl
Comme gn ;?: 0 et x 2 g,, (x) ------+ 0 , po ur tout p de
x-> ±oo
[1 ; +oo[, gn E CJ:,P.
De plus, g,, est bornée, donc g,, E C.C,
00 .
On a, pour tout p de [l ; +oo[ et tout n de N* :
D'autre part : "ln E N*, l lgn l loo = n/3.
1
si p' # +oo,
Tl existe f3 E IR tel que : .
1
SI p = +oo,
l
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1
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p
On a alors: ll gn ll p - - - 7 0 et ll g11 ll p 1 - - - 7 +OO .
11 00
1100
a) Après décomposition en éléments simples :
{ X
X4 + 1
11 x3(x + l )(x2 + 1) dx
[ X ( l
]
l
X+ 1 )
= 11 x3 - x2 - x + 1 + x2 + 1 dx
[
l
]
l
( x2 + l )
] X
= - -
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+ Arctan x
2x2
x
2
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1
n
1
1
Réponse : 4 - 2
+ 2
tn2 ~ 0,631972.
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x
4
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(x 5 + l) ~ dx y=(x~+ 1) ! 5 y2
2
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2
Reponse: 5 .
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