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0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
a) Soit n E N - {0, 1) . Puisque f est décroissante, on a:
!:±.!
(k)
{ " f ~ ~ f -
}!
n
n
"
1 (k) i ~ '
- f - ~
f
n
n
!' .::.!.
"
1
V k E {l , .. . ,n - 1},
V k E {l , .. . ,n ),
d'où en sommant :
{
1
f ~ ~ ~ f (~) et ~ t f (~) ~ {
1
f.
l f ,
nk= I
n
nk= I
n
lo
Ainsi : f (l) + ~
1
f ~ ~ t1(~) ~ {
1
f,
n
1 f ,
n k= I
n
lo
d'où ~ t f (~) ~ {
1
f.
n k= l
n noo lo
(
(n')f, )
1 ~ (k)
b) a ) ln - ~
= ;; {:I ln ;; ·
On peut appliquer le résultat de a) à ]O; l ] ----+ IR . D'où :
x t----+ -ln x
1 , , (k) {
1
1
;; [;ln ;; ~ lo ln x dx = [x ln x-x] 0
= - 1.
Réponse: e- 1 .
/3) On a:
1
lo(J] (l+JD ~) ~ ~ ~10(1 + ~)
•On peut applique r le résultat de a) àf: ]O; l] ~ IR , d'où :
x.-.-ln( I+*)
~~10(1 + ~) ~ {10(1+ ;,)ru
li
+oo ln(l +y)
= 2
3
dy.
y=* 1 y
À l'a ide d ' une intégration par parties, on a :
f
Y ln ( 1 + y)
[
1
] Y f Y 1
2
3
d y= - 2 ln ( l +y) +
2 (
1
) d y,
y
y
1
1 y + y
puis, en utilisant une décomposition en éléme nts simples :
(
1
((1 1
1 )
li y 2 (1 +y) dy = 11 y 2 - y + y+ 1 dy
Ainsi:
li
y ln(l +y)
2
dy =
1
y3
1
y + 1
= -- + ln- - + 1 - ln 2.
y
y
ln (l + Y)
y 2
y
Y + 1
+ ln - - + l ~ 1.
Y
Y-->+oo
Reprendre l'exponentielle pour conclure.
Réponse: e.
a) J ) Soient ! E N (l ,OC) et (a ,b) E 1 2 tel que a ~ b . Puisque
f est continu e pa r mo rceau x s ur I e t que
0 ~ { lf l ~ f lf l = 0 , f est continue par morceaux sur
l [a:b]
l
[a ; b] et {
lf l = 0 , donc f l[a:b] est nulle sauf en un
l[a:b]
nombre fini de points de [a; b] .
2) Réciproquement, soit f E CM (/, OC) telle que, pour tout
(a, b) de 1 2 tel que a ~ b ,fl[a:b] est nulle sauf en un nombre
fini de points. Alors, pour tout tel [a; b] , {
1f1 = 0 , donc,
h a:b]
par définition, f est intégrable sur l e t j 111 = O.
b). 0 E N (l ,OC)
•Soient a E OC ,f,g E N (l ,OC).
Alors af + g E .C 1 (/, OC) et :
o ~ Jlaf + gl ~ lal j lfl+ j lg l = O,
donc j laf + g l = 0, af + g E N (l ,OC) .
• Soient h E CM(l ,OC), f E N (l ,OC). D'après a), pour tout
segment [a; b] inclus dans / , f l[a:b] est nulle sauf en un
nombre fini de po ints , donc (hf)l[a: b] auss i, e t donc
(cf. a)), hf E N (l ,OC).
c) On a, pour tout n de N :
0 ~ j IJI ~ j IJ - f nl + j lfnl = j IJ - fn l·
Comme f If - fn l ~ 0 , on déduit j IJ I = 0, donc
l
1100
f E N(l ,OC).
• Soit J un segment inclus dans /.
C omme J n D est fini e t que fi e t h coïnc ide nt sur
J - (1 n D), on a: 1 lh l = 1 lf 11 .
Ainsi, pour tout segment J inclus dan s I: 1 lhl ~ j 1Ji 1.
donc h est intégrable sur/.
• Comme, pour tout segment J inc. lus dans / , 1 h = 1 ! 1
et qu'il existe une suite (1,, ),,eN• de segments inclus dans I telle
que LJ 1 11 = ! , on déduit :
neN•
f
h = lim { h = lim { ! 1 = j ! 1 ·
l
noo 1 J.,
noo 1 J,,
l
Le résultat est déj à acquis pour p = 1 et pour p = +oo.
Soit p E] 1; +oo[. D'après l'exercice 1.1.9 p. 10, on a, pour tout
segment J inclus dans l :
0
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n
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f ~ ~ t1(~) ~ {
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d'où ~ t f (~) ~ {
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1 ~ (k)
b) a ) ln - ~
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On peut appliquer le résultat de a) à ]O; l ] ----+ IR . D'où :
x t----+ -ln x
1 , , (k) {
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= - 1.
Réponse: e- 1 .
/3) On a:
1
lo(J] (l+JD ~) ~ ~ ~10(1 + ~)
•On peut applique r le résultat de a) àf: ]O; l] ~ IR , d'où :
x.-.-ln( I+*)
~~10(1 + ~) ~ {10(1+ ;,)ru
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= 2
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y=* 1 y
À l'a ide d ' une intégration par parties, on a :
f
Y ln ( 1 + y)
[
1
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2
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d y= - 2 ln ( l +y) +
2 (
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puis, en utilisant une décomposition en éléme nts simples :
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Ainsi:
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y ln(l +y)
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= -- + ln- - + 1 - ln 2.
y
y
ln (l + Y)
y 2
y
Y + 1
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Y
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Reprendre l'exponentielle pour conclure.
Réponse: e.
a) J ) Soient ! E N (l ,OC) et (a ,b) E 1 2 tel que a ~ b . Puisque
f est continu e pa r mo rceau x s ur I e t que
0 ~ { lf l ~ f lf l = 0 , f est continue par morceaux sur
l [a:b]
l
[a ; b] et {
lf l = 0 , donc f l[a:b] est nulle sauf en un
l[a:b]
nombre fini de points de [a; b] .
2) Réciproquement, soit f E CM (/, OC) telle que, pour tout
(a, b) de 1 2 tel que a ~ b ,fl[a:b] est nulle sauf en un nombre
fini de points. Alors, pour tout tel [a; b] , {
1f1 = 0 , donc,
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par définition, f est intégrable sur l e t j 111 = O.
b). 0 E N (l ,OC)
•Soient a E OC ,f,g E N (l ,OC).
Alors af + g E .C 1 (/, OC) et :
o ~ Jlaf + gl ~ lal j lfl+ j lg l = O,
donc j laf + g l = 0, af + g E N (l ,OC) .
• Soient h E CM(l ,OC), f E N (l ,OC). D'après a), pour tout
segment [a; b] inclus dans / , f l[a:b] est nulle sauf en un
nombre fini de po ints , donc (hf)l[a: b] auss i, e t donc
(cf. a)), hf E N (l ,OC).
c) On a, pour tout n de N :
0 ~ j IJI ~ j IJ - f nl + j lfnl = j IJ - fn l·
Comme f If - fn l ~ 0 , on déduit j IJ I = 0, donc
l
1100
f E N(l ,OC).
• Soit J un segment inclus dans /.
C omme J n D est fini e t que fi e t h coïnc ide nt sur
J - (1 n D), on a: 1 lh l = 1 lf 11 .
Ainsi, pour tout segment J inclus dan s I: 1 lhl ~ j 1Ji 1.
donc h est intégrable sur/.
• Comme, pour tout segment J inc. lus dans / , 1 h = 1 ! 1
et qu'il existe une suite (1,, ),,eN• de segments inclus dans I telle
que LJ 1 11 = ! , on déduit :
neN•
f
h = lim { h = lim { ! 1 = j ! 1 ·
l
noo 1 J.,
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l
Le résultat est déj à acquis pour p = 1 et pour p = +oo.
Soit p E] 1; +oo[. D'après l'exercice 1.1.9 p. 10, on a, pour tout
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