"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
d) Q ~ j(x) = (lnx)-lnx = e -lnxln lnx =X-ln ln x ~ X-2,
pour x assez grand, puisque ln ln x -----+ +oo.
X~ +oo
Appliquer l'exemple de Riemann en +oo et le théorème de majoration pour les fonctions ?;: O.
Réponse: f est intégrable sur [O; + oo[.
e)
1
O ~f (x) = ~
l -x 4
J(l -x)(l +x + x 2 +x3)
1
1
x--. 1- .j(l - x)4
2(1 - x) 1 /2 ·
Appliquer l'exemple de Riemann en 1 et le théorème d'équivalence pour les fonctions ?;: O.
Réponse: f est intégrable sur [O; 1 [.
If (t)I
. ,
a)• Pour toute f de C, t ~ ,,---; est rntegrable sur [O; l[
.yl-t
l
car Ill est continue en 1 et que t ~ ,,---;
.yl-t
est intégrable sur [O; 1 [.
De même, t ~
1
~est intégrable sur] - 1; O] .
vl+t
Ainsi, N (f) et N' (f) existent.
• Les propriétés
N(Àf) = IÀ IN(f) et N(f + g) ~ N(f) + N(g)
sont immédiates.
S . N(f) 0 1
If (t)I
.
•
1
= , a ors, comme t ~ ,,---; est contrnue et
.y l-t
~ 0 sur [ -1; 1 [, on déduit (V t E [-1 ; 1 [, f (t) = 0), puis
f = 0.
Ceci montre que N est une norme sur C. Preuve analogue
pour N' ; où bien remarquer N' (f) = N ( f)
b)
- 1
y
n f - - - - - - ----.
0
1
1- -
n
1
Considérons, pour tout n de N*, fn : [ -1; 1] -----+ lR définie par :
fn (t) =
1
0
n2 (r -1 + ~)
si t E [ - ] ; ] - ~]
si t E [ 1 - ~ ; l l
• NCfn) = 11 lfn(t) I dt
- 1.Jr=t
n
1
f,
1
-
= { ~ dt ~ {
- 2 -
dt
11 - l v'1-=t
111 .jr=t
Il
2,;"
• N'Cfn) = 11 lfn(t)I dt = {l fn(t) dt
-1 ~
11 -l~
"
i
l
dt
l
~ n
r;-;--;~R~ l.
1-l vl +t
1
"
2- -
n
Réponse : Net N' ne sont pas équivalentes.
c) C'est essentiellement la même question que b) car Test linéaire et:
V f E C, N(T(f)) = N(f) = N'(f) .
Réponse: T : (C,N)-----+ (C,N) n'est pas continue.
a) Puisque a et f3 jouent des rôles symétriques, on peut supposer a ~ f3 ; l'encadrement demandé est alors immédiat.
b) Immédiat d'après a) et le théorème de majoration.
Notons go l'identité et, pour n E N*, g" = g o ... o g (n fois),
J
g"+ l (a)
Un =
f (t) dt .
g"(a)
On a, pour tout n de N* :
g"+ 1 (a)
g"(a)
Un = J f(t)dt = J f(g(u))g'(u)du.
g" (a)
t=g(u) 8 .. - 1 (a)
g" (a)
a) Un ~ J kf (u) du = ku 11 _1 , d'où, par une récurrence
g"- 1 (a)
immédiate : Vn E N, u 11 ~ knuo. Puis:
[ g"(a)
11-l
(n-1 ;)
V n EN*, Jn f = Lu; ~ L k uo
a
i=O
i=O
1-e
u 0
- --uo ~ -- 1-k
""' 1-k'
Comme g"(a) ~ gn - l (a)+ À ~ ... , on déduit
gn (a) ~ nÀ +a et donc gn (a) -----+ +oo.
noo
Pour tout X de [a; +oo[, il existe n E N tel que X ~ gn (a),
d'où:
1
x
i g"(a)
uo
f~
f ~ --.
a
a
1 - k
JI s'ensuit (3.1.1 Déf. p. 154) que f est intégrable sur [a ; +oo[.
b) Etude analogue.
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