"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Pour ch aque n de N, pui s qu e 'Pn E JX( E , F ), on a
fn E B(X ,F ) et llfnl loo = ll l'Pnl ll (cf. 1.2.5 Notatio n p. 53).
Comme F est complet, d'après 1), il existe f E B (X, F) telle
que f,, -----+ f.
1100
Considérons cp : E -----+ F définie par :
1
cp(O) = 0
Vt E E - {0} , cp(t) = llt llf ( iiï) .
•Soit t E E - {0 } ; on a : V n E N ,
llcpn(t)- cp(t)ll = llt ll llfn ( iiï ) -J ( iiï ) ll
~ llt l 11 If,, - fi loo,
Donc 'PnCt)-----+ cp(t), dans F .
noo
Et à l'évidence, 'Pn (0) -----+ cp(O).
noo
Autre ment dit, (cpn ) 11 eN converge simplement vers cp sur E
(cf. 2.3.2 Déf. 1 p. 124).
•Soient À E JK, (t , u) E E 2 .
Comme V n E N, cp,, (Àt + u) = Àcpn(t) + cp,, (u ) ,
on déduit, en faisant tendre n vers l'infini :
cp(Àt + u) = Àcp(t) + cp(u ),
d'où cp E L,(E,F) .
•Puisque ! E B(X, F ), on a:
V x E E, llcp(x) ll ~ llf lloo llxl l,
et donc (cf. 1.2.5 Théorè me p . 52) cp E L,C ( E , F ).
• Enfin : lll'Pn - cp lll = ll fn - fl loo -----+ 0,
noo
do nc 'Pn -----+ cp.
noo
1) a) X est une partie non vide de IR (car a E X), majorée par
b (car X C [a; b]), donc X admet dans IR une borne supérieure
c, et c E [a; b].
b) 1) Montrons c -:f:. a.
Puisque cp est continue en a et cp(a) = 0 , il existe ri E]O; b - a [
tel que: Vt E]a; a + ri [, cp(t) ~ e.
On a alors [a; a+ ri [c X , d'où c ~ a+ ri, et donc c -:f:. a.
2) Supposons c -:f:. b (do nc c E]a; b [). Puisque f et g sont dérivables à droite en c, il existe y E]c; b] te l que :
l
11 /(y~ = :(,) Il ,; 1 1 1ct
gd c ""
2 ·
y-c
On déduit :
llf (y) - f(c) ll ~ (y - c) ( llf
y-c
= g(y ) - g(c) +(y - c)e.
D'autre part, puisque X = cp - 1 (] - oo; e]) , et que cp est continue et] - oo; e] fermé, X est fermé dans [a; b] . Comme[ a; b]
est fermé dans IR , X est donc fermé dan s IR , et, en particulier,
c EX.
D'où:
llf(c) - f(a) ll ~ g(c) - g(a) + e(c - a) + e.
En combinant les deux résultats précédents, o n obtient :
llf(y) - f(a) ll ~ llf(y) - f(c) ll + llf(c) - f(a) ll
~ g(y) - g(a) + e(y - a)+ e,
et donc y E X , ce qui contredit la définition de c,
c = Sup(X ) , et y E]c; b] .
lR
Ce raisonnement par l'absurde établit : c = b.
c) D'après b):
Ve > 0 , llf(b) - f(a) ll ~ g(b) - g(a ) + e(b - a) + e, e t
donc ll f( b) - f(a)ll ~ g(b ) - g(a) .
2) Pour (a, b) E 1 2 tel que a < b , appliquer le résultat de 1 )
e n prenant g : t r---+ Mt.
Chapitt6e 3
Vérifier d'abord que f est continue (par mo rceaux) et ~ 0 sur
l'intervalle indiqué.
a) Pour x ~ e - 1 , o n a ln (1 + x) ~ 1 , donc
ln(l +x)
1
f( x ) =
~ - . Appliquer l'exe mple de Riem ann
X
X
en +oo et le théorème de majoratio n (par contraposée) pour
les fonctions ~ O.
Réponse: f n'est pas intégrable sur [l; +oo[.
b) Obtenir un équivalent simple de f (x) lorsque x -----+ + oo :
(
1
( 1 ))
1
- x - +o -
~
-
-
3x 3
x 3
x ---. +oo 3x 2 ·
Appliquer l'exemple de Riemann en +oo et le théorème d'équivalence pour les fonctions ~ O.
Réponse : f est intégrable sur [O; + oo[.
c) Obtenir un équivalent simple de f (x) lo rsque x -----+ + oo :
0 ~ f(x) = ln ( 1 + (Jx+~)
2 )
=ln 1 + - + - - + -
~
- .
(
1
1
1)
1
x
2xJx x 2 x ---. +oo x
Appliquer l'exemple de Riemann en +oo et le théorème d'équivalence pour les fonctions ~ O.
Réponse: f n'est pas intégrable sur [1 ; +oo[.
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fn E B(X ,F ) et llfnl loo = ll l'Pnl ll (cf. 1.2.5 Notatio n p. 53).
Comme F est complet, d'après 1), il existe f E B (X, F) telle
que f,, -----+ f.
1100
Considérons cp : E -----+ F définie par :
1
cp(O) = 0
Vt E E - {0} , cp(t) = llt llf ( iiï) .
•Soit t E E - {0 } ; on a : V n E N ,
llcpn(t)- cp(t)ll = llt ll llfn ( iiï ) -J ( iiï ) ll
~ llt l 11 If,, - fi loo,
Donc 'PnCt)-----+ cp(t), dans F .
noo
Et à l'évidence, 'Pn (0) -----+ cp(O).
noo
Autre ment dit, (cpn ) 11 eN converge simplement vers cp sur E
(cf. 2.3.2 Déf. 1 p. 124).
•Soient À E JK, (t , u) E E 2 .
Comme V n E N, cp,, (Àt + u) = Àcpn(t) + cp,, (u ) ,
on déduit, en faisant tendre n vers l'infini :
cp(Àt + u) = Àcp(t) + cp(u ),
d'où cp E L,(E,F) .
•Puisque ! E B(X, F ), on a:
V x E E, llcp(x) ll ~ llf lloo llxl l,
et donc (cf. 1.2.5 Théorè me p . 52) cp E L,C ( E , F ).
• Enfin : lll'Pn - cp lll = ll fn - fl loo -----+ 0,
noo
do nc 'Pn -----+ cp.
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1) a) X est une partie non vide de IR (car a E X), majorée par
b (car X C [a; b]), donc X admet dans IR une borne supérieure
c, et c E [a; b].
b) 1) Montrons c -:f:. a.
Puisque cp est continue en a et cp(a) = 0 , il existe ri E]O; b - a [
tel que: Vt E]a; a + ri [, cp(t) ~ e.
On a alors [a; a+ ri [c X , d'où c ~ a+ ri, et donc c -:f:. a.
2) Supposons c -:f:. b (do nc c E]a; b [). Puisque f et g sont dérivables à droite en c, il existe y E]c; b] te l que :
l
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On déduit :
llf (y) - f(c) ll ~ (y - c) ( llf
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D'autre part, puisque X = cp - 1 (] - oo; e]) , et que cp est continue et] - oo; e] fermé, X est fermé dans [a; b] . Comme[ a; b]
est fermé dans IR , X est donc fermé dan s IR , et, en particulier,
c EX.
D'où:
llf(c) - f(a) ll ~ g(c) - g(a) + e(c - a) + e.
En combinant les deux résultats précédents, o n obtient :
llf(y) - f(a) ll ~ llf(y) - f(c) ll + llf(c) - f(a) ll
~ g(y) - g(a) + e(y - a)+ e,
et donc y E X , ce qui contredit la définition de c,
c = Sup(X ) , et y E]c; b] .
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Ce raisonnement par l'absurde établit : c = b.
c) D'après b):
Ve > 0 , llf(b) - f(a) ll ~ g(b) - g(a ) + e(b - a) + e, e t
donc ll f( b) - f(a)ll ~ g(b ) - g(a) .
2) Pour (a, b) E 1 2 tel que a < b , appliquer le résultat de 1 )
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Chapitt6e 3
Vérifier d'abord que f est continue (par mo rceaux) et ~ 0 sur
l'intervalle indiqué.
a) Pour x ~ e - 1 , o n a ln (1 + x) ~ 1 , donc
ln(l +x)
1
f( x ) =
~ - . Appliquer l'exe mple de Riem ann
X
X
en +oo et le théorème de majoratio n (par contraposée) pour
les fonctions ~ O.
Réponse: f n'est pas intégrable sur [l; +oo[.
b) Obtenir un équivalent simple de f (x) lorsque x -----+ + oo :
(
1
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1
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Appliquer l'exemple de Riemann en +oo et le théorème d'équivalence pour les fonctions ~ O.
Réponse : f est intégrable sur [O; + oo[.
c) Obtenir un équivalent simple de f (x) lo rsque x -----+ + oo :
0 ~ f(x) = ln ( 1 + (Jx+~)
2 )
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