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0
c
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Io
1
x(Arctan x) 2 dx
[
]
I
x2
1 x2
= - (Arctan x ) 2 - { - ·- 2
Arctan x dx
2
0
Jo 1 +x
rr2
loi
loi l
= - -
Arctan x dx +
- -
2
Arctan x dx
32
Q
Q 1 +X
= rr
2
- ([x Arctan x ]
1
- f 1 _ x dx)
32
o Jo l +x2
+ u (Arctanx)2]~.
Réponse:
rr 2
rr
l
~ - - + - ln 2:::::: 0 178 026.
16
4
2
,
En appl iquant deux fois la formu le de Tay lo r avec reste intégral, on obtient, pour tout t de [- a; a ] :
f(a) = f(t) +(a - t)f' (t)
+ 1 ° (a-u)f
11 (u) du
f(-a) = f(t) +(-a - t)f'(t)
+ 1 - a (- a - u )f
11 (u) du
d'où, par soustraction :
1
1
f'(t) = - (f(a) - f( - a)) - -A (a,t)
2a
2a
où
A(a,t)= 1 ° (a-u)f
11 (u ) du + 1 -a(a+ u) f"(u ) du .
Ona:
ll A(a,t) ll:::;; la (a - u) ll f " (u) ll du
+ f~a(a+u)llf"(u) lldu
,,:;; M1 (la (a - u) du + !~a (a+ u) du)
= M2(a2 + t2),
où on a noté M1 = Sup 11 .f"(u) ll -
uE [-a: a J
1) On sait que (B(X,F), 11 -lloo) est un evn (cf. 2.1.4 Prop. 3
p. 104).
Soit Un)n EN une suite de Cauchy dans B (X , F).
a) Pour chaque x de X , comme
V (p,q) E N 2 , ll fp(x) - fq(x) ll,,:;; ll f p - f qlloo ,
(fn (x)),, EN est de Cauchy dans F.
Puisque Fest complet, il existe f x E F tel que : f ,, (x)----+ fx.
1100
Notons f : X ----+ F .
x . - f x
b) Soit e > 0 ; il existe N E N tel que:
'V(p,q) E N
2 , ( { p ~ N ===? llfp - fq lloo,,:;; e).
q ~ N
• Soit p E N tel que p ~ n ; on a, pour tout x de X :
'Vq EN,
(q ~ N ===? llfp(x) - fq(x) ll,,:;; ll fp - fq lloo ,,:;; e);
commefq(x)----+ f(x), o n en déduit
qoo
ll fp(X) - f(x) ll ,,:;; ê.
On a ainsi prouvé : V x E X ,
11.f(x) ll :::;; 11 .f(x) - fN+ I (x) ll + 11 .fN+I (x) ll
ce qui montre: f E B (X, F).
• Comme: V x E X , V p E N,
,,:;; ê + ll f N+ l lloo ,
(p ~ N ===? ll f(x) - fp(x) ll:::;; e) ,
on a:
V p E N, (p ~ N ===? Il! - fp lloo :::;; e),
et donc: fp----+ f dans (B(X, F ) , 11-lloo).
poo
2) a) • Il est clair que C B ( X , F) e st un sev de B(X, F).
•Soit (f,,) 11 EN une suite dans CB(X, F), convergeant vers un
élément/ de B(X, F).
Soit (a ,e) E X x IR~ ; on a:
\lx EX, \ln E N,
llf(x) - f(a) ll,,:;; ll f(x) - .f11(x) ll + ll f,,(x) - fn(a) ll
+ 11 .f,,(a) - f(a) ll
,,:;; 2 11 ! - fn lloo + ll f~(x) - f~(a) ll -
Puisque fn ----+ f, il existe N E N tel que
noo
ê
11 .f - fN lloo,,:;; 3·
Puis, comme f N est continue en a, il existe T/ > 0 tel que:
\;/XE X, ( 11x - a il:::;; T/ ===? 11.fN(X) - fN(a) ll :::;; ~).
On a alors:
V x E X, (llx - a il :::;; T/ ===? 11 .f(x) - .f(a) ll:::;; e) ,
et donc f est continue sur X .
Ceci montre que C B (X ,F) est une partie ferméedeB (X,F ) .
b) C B (X, F) est fermée dans un evn complet (cf. 1) ), donc est
complète (cf. 1.4.2 Prop. 2 p. 68).
3) Le cas E = {O} étant d'étude triviale, on peut s upposer
E # {O} ; notons X= {x E E; llx ll = l} = S (O; 1), qui
est un ensemble non v ide.
Soit (
f 11 : X ----+ F .
X._
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1
- f 1 _ x dx)
32
o Jo l +x2
+ u (Arctanx)2]~.
Réponse:
rr 2
rr
l
~ - - + - ln 2:::::: 0 178 026.
16
4
2
,
En appl iquant deux fois la formu le de Tay lo r avec reste intégral, on obtient, pour tout t de [- a; a ] :
f(a) = f(t) +(a - t)f' (t)
+ 1 ° (a-u)f
11 (u) du
f(-a) = f(t) +(-a - t)f'(t)
+ 1 - a (- a - u )f
11 (u) du
d'où, par soustraction :
1
1
f'(t) = - (f(a) - f( - a)) - -A (a,t)
2a
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où
A(a,t)= 1 ° (a-u)f
11 (u ) du + 1 -a(a+ u) f"(u ) du .
Ona:
ll A(a,t) ll:::;; la (a - u) ll f " (u) ll du
+ f~a(a+u)llf"(u) lldu
,,:;; M1 (la (a - u) du + !~a (a+ u) du)
= M2(a2 + t2),
où on a noté M1 = Sup 11 .f"(u) ll -
uE [-a: a J
1) On sait que (B(X,F), 11 -lloo) est un evn (cf. 2.1.4 Prop. 3
p. 104).
Soit Un)n EN une suite de Cauchy dans B (X , F).
a) Pour chaque x de X , comme
V (p,q) E N 2 , ll fp(x) - fq(x) ll,,:;; ll f p - f qlloo ,
(fn (x)),, EN est de Cauchy dans F.
Puisque Fest complet, il existe f x E F tel que : f ,, (x)----+ fx.
1100
Notons f : X ----+ F .
x . - f x
b) Soit e > 0 ; il existe N E N tel que:
'V(p,q) E N
2 , ( { p ~ N ===? llfp - fq lloo,,:;; e).
q ~ N
• Soit p E N tel que p ~ n ; on a, pour tout x de X :
'Vq EN,
(q ~ N ===? llfp(x) - fq(x) ll,,:;; ll fp - fq lloo ,,:;; e);
commefq(x)----+ f(x), o n en déduit
qoo
ll fp(X) - f(x) ll ,,:;; ê.
On a ainsi prouvé : V x E X ,
11.f(x) ll :::;; 11 .f(x) - fN+ I (x) ll + 11 .fN+I (x) ll
ce qui montre: f E B (X, F).
• Comme: V x E X , V p E N,
,,:;; ê + ll f N+ l lloo ,
(p ~ N ===? ll f(x) - fp(x) ll:::;; e) ,
on a:
V p E N, (p ~ N ===? Il! - fp lloo :::;; e),
et donc: fp----+ f dans (B(X, F ) , 11-lloo).
poo
2) a) • Il est clair que C B ( X , F) e st un sev de B(X, F).
•Soit (f,,) 11 EN une suite dans CB(X, F), convergeant vers un
élément/ de B(X, F).
Soit (a ,e) E X x IR~ ; on a:
\lx EX, \ln E N,
llf(x) - f(a) ll,,:;; ll f(x) - .f11(x) ll + ll f,,(x) - fn(a) ll
+ 11 .f,,(a) - f(a) ll
,,:;; 2 11 ! - fn lloo + ll f~(x) - f~(a) ll -
Puisque fn ----+ f, il existe N E N tel que
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11 .f - fN lloo,,:;; 3·
Puis, comme f N est continue en a, il existe T/ > 0 tel que:
\;/XE X, ( 11x - a il:::;; T/ ===? 11.fN(X) - fN(a) ll :::;; ~).
On a alors:
V x E X, (llx - a il :::;; T/ ===? 11 .f(x) - .f(a) ll:::;; e) ,
et donc f est continue sur X .
Ceci montre que C B (X ,F) est une partie ferméedeB (X,F ) .
b) C B (X, F) est fermée dans un evn complet (cf. 1) ), donc est
complète (cf. 1.4.2 Prop. 2 p. 68).
3) Le cas E = {O} étant d'étude triviale, on peut s upposer
E # {O} ; notons X= {x E E; llx ll = l} = S (O; 1), qui
est un ensemble non v ide.
Soit (
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