"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
On déduit : V x E [0; l] ,
Mi, x ::;;; x Mn ,x::;;; x 2 Mn-1 ,x::;;; ... ::;;; xn M1, x,
donc: V x E [0; l], (1 - x")M1 ,x ::;; 0.
D'où : (V x E [0; 1 [, M1 ,x = 0),
puis (V x E [0; l[, fi (x) = 0),
et, par continuité de !1 : f 1 = 0.
Alors h = ... = fn =O.
Pour y E lR fixé: 1 f(x) - f(y) 1 ::;;; lx - yla-l -----+ O.
x-y
x->y
Ceci montre que f est dérivable sur lR et f' = 0, donc f est
constante.
Réciproque évidente.
Réponse : {JR -----+ C; C E q.
x~c
1
1
1
a)
dx
-1 ,Jf=X + .JITX + 2
r
sin8
l:l=A~cosx lo M ( 8
8)
dB
v 2 sin l + cos l + 2
1
Î cos2cp
=
dcp
qi= ~ - î 4 coscp + 1
Io
Î 2cos 2 cp - 1
= 2
o coscp + 1
= r* (4coscp - 4 + ~) dcp
lo
cos2 -
2
= 2../2 - lC + 2(../2 - 1).
Réponse: 4../2 - rr - 2 ~ 0 ,515 262.
lC
b) Le changement de variable u = '2 - x montre l = J.
D'autre part :
Io
~ cosx + sinx
l+l=
0
dx
.Ji+ sinx cosx
1
; } .j2 cos t
=
dt
t=x-~ - ~ Ji+ ~(cos 2 t - sin 2 t)
1
r;:;lo ..fî du
r;:;
1
==: 2v .L
0
= 2v 2Arcsin r;; .
u=Sln t
Q
3
2
y 3
--u
2
1
Réponse: 1 = J = ../2Arcsin v'3 ~ 0,870420.
lo
2 1:1
X
11:1 U +8
c)
dx =
- - du
o cos(x - 8) 11=x- l:I - 1:1 cos u
= 28 J8 ~ (parité) = 28 [1n ltan (::_ + ~) 1 ]
11
•
cosu
4
2
0
Réponse : 28 ln 1 tan ( ~ + ~) I ·
a) I = ra f (t) dt
lo f (t) + f (a - t)
ra f(a - u)
u==::- r lo f(a - u) + f(u) du ,
d ' ' 21 - loa f (t) + f (a - t) d -
ou
-
t - a.
0 f (t) + f (a - t)
,
a
Reponse: 2 .
,
lC
b) Reponse: 4
.
a) L'application Fest de classe C 1 sur ]O; +oo[ et :
ln(l + x)
Vx E]O; +oo[ , F ' (x) =
.
X
L'application G :
JO; +oo[-;. lR
est de classe C 1 sur
X I---'> F(x)+ F ( :} )- ~ (ln x)2
]O; +oo[ et, pour tout x de ]O; +oo[ :
G (x) = F (x) - - F - - -
I
I
1 I ( 1) lnx
x2
X
X
= ln(l + x) _ _. !: _ ln (i + _.!:_)- lnx = O,
X
X
X
X
donc G est constante sur ]0; +oo[.
De plus, F(l) = 0, donc G(l) =O.
Finalement: Vx E]O; +oo[, G(x) =O.
b) On a, pour tout x de ]O; +oo[ :
ln X+ ln (1 + !._)
r _
ln_(x _ +_t_) dt = r
X
dt
11
t
11
t
X
X ln ( 1 + !._)
= ln X r dt + r
X
dt
11 t 11
t
2
~
1 ln(l + u)
= (lnx) +
du
[u= f,J
~
u
= (lnx)
2 - F (~) = ~(lnx) 2 + F(x).
Il suffit d'utiliser: < f ,g >
1 = < !' ,g > + < f,g' >
(cf. 2.2.3 Cor. p. 113).
Puisque (XY)' =t X ' Y +txr', on a:
l b
b lb
X(t)Y
1 (t)dt = [tx(t)Y(t)] -
X
1 (t)Y(t)dt
a
a
a
= - lb X(t)AY(t) dt= O.