-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
·c
>0.
0
u
•Étude en 1
Le changement de variable u = ln t fournit :
1
21n x eu
f (x) =
- du, d'où
ln x
U
l
f(x) - { 21n x _!. dul = {21nx e" - 1 du -----+ 0,
Jin x U
Jinx
U
x-->1
e" - 1
car u r----+ - - est bornée au voisinage de O.
u
Ainsi : f (x) -----+ ln 2.
X -->)
On complète f par continuité en 1 en posant f (l) =ln 2.
x-1
Puis: f ' (x ) = - - -----+ 1,
lnx x--> 1
doncfestdérivableen 1etf'(l)=1.
• Etude en +oo
1
x2
1
x2 -x
f(x) ;;:::
- - dt= - - -----+ +oo
x
ln (x2)
2lnx x-->+oo
f(x)
X - 1
et - - ;;::: - - -----+ +oo.
x
2ln x x-->+oo
Ainsi, (Cf) admet une branche parabolique de direction asymptotique (Oy).
<9
0
X
Pour x E IR fixé, l'application
1
x +2y
dt
Ill : y r----+
est de classe C 1 sur IR et :
x-2y ch t + ch x
V y E IR, Ill' (y )
2
-2
ch (x + 2y) + chx ch(x - 2y) + chx
1
1
=
+ - - - - -
ch(x + y )ch y ch(x - y)ch y
ch (x - y) + ch (x + y )
2ch x
ch (x + y )ch(x - y)ch y ch (x + y)ch (x - y )
,
sh2x
Si X #- 0: Ill (y) = - - - - - - - -
2sh xch (x + y )ch(x - y)
1 ( sh(x+y)
sh(x-y))
= sh x ch (x + y) + ch (x - y )
_ ~ (-1 - ln ch(x +y))
- dy shx
ch(x-y) ·
1
2
Si X= 0:
Ill (y)= -2-·
ch y
Réponse:
2
1
ch(x +y)
l
x+ Y
dt
= 1 shxln ch(x -y)
x-2y cht chx
2 thy
si X#- 0
Si X= Ü
a) Puisque x et y jouent des rôles symétriques, on peut supposer, par exemple, x ~ y. On a alors :
l(y - a) 1 x f - (x - a) 1 Y fi
= l(y-x) 1 x f-(x-a) l y fi
~ (y - x) 1 x lf l + (x - a) l y lf l
~ (y - x) lb lf l + (x - a) l b lf l
~ (y - a) lb lf l ~ (b - a) lb lfl.
b) Supposons qu'il y ait égalité dans l'inégalité du a).
D'après l'étude du a), on a alors :
(
(y - x) l x lf l =(y - x) lb lf l
(x -a) l y lf l = (x -a) 1b lf l.
Six= y ou x =a, on obtient directement 1b lf l = 0, d'où
f = 0 (f est continue par hypothèse).
Si x #-y et x #-a, on déduit lb lf l = 0, 1 x lf l = 0,
ib lfl = 0 , puis f =O.
En appliquant l'exercice 2.3.23 a) à f - À et b à la place de f
et y respectivement, on obtient :
l(b-a) 1x(f-À)-(x-a) lb(f-À)I
~ (b - a) {b If - Ài,
la
Pour tout
(k,x)
de {l,. .. ,n) x [O; 1], notons
Mk ,x = Sup lfk(t) I (Mk,x existe puisquefk est continue sur
re[O;x]
le segment [O; 1]) .
On a, pour tout (k ,x) de {l ,. .. ,n) x [O; l] :
Vu E [O; x], lfk+I (u)I = lfo" fk(t) dtl ~ fa" lfkU) I dt
où on a noté ! n+I =fi.
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