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0
c
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0
(V)
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0
N
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.......
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O'l
·;::::
>0..
0
u
580 1
X
1
Étude en +oo : 0 < f(x):::;; Jx3+x < r.; -----+ O.
x3 + x .yX x --->+oo
y
0
1
l
V2
b) • Def (j) = IR*.
1
- 2 x cht
• \;/X E IR* , f ( - X) =
-
dt
- X
(
1
2 x chu
=
-du= f(x),
X
U
donc f est paire.
• f est de classe C 1 sur IR+ et :
ch 2x
ch x
\;/ x E IR+, f' (x ) = 2 ~ - --:;Étude en o+
ch2x - chx
- - - - > 0.
X
X
0
- -
f'(x)
+
f(x)
+oo
X
ch t - l
t
2
Puisque
~
- , il existe (a , A) E (IR+ ) tel que:
t --->0+ 2
VtE]O; a[, l cht,- ll :::;; A t.
a
On déduit, pour tout x de ]0; 2 [ :
1
1
2x dt 1 12x ch t - 1
f(x) -
- =
dt
X
t
X
f
f
2x
3
2
:::;;
At dt = - Ax .
X
2
1
2x dt
Comme
- = ln 2, ceci montre f (x) -----+ ln 2.
x
f
x--->O+
On complète donc f par continuité en 0 en posant f (0) = ln 2,
et on a aJors :
1
f (x) - f (0) 1 3
:::;; - Ax -----+ 0,
X
2
x--->0+
ce qui montre que f e st dérivable en 0 et f' (0) = O.
Remarque : nous verrons plus loin (ch. 6) que l'application
1
cht - 1
si t =f:. 0
t ~
t
admet un développement en série
0
si t = 0
entière centrée en 0 de rayon oo, ce qui permet de déduire la
même propriété pour f, et donc f est de classe C
00 sur IR .
• Étude en + oo
!2
Montrer: V t E IR+ , ch t ?: 2 , d'où :
f(x) ?:
~ dt= - x 2 .
1
2x t
3
X
2
4
Ainsi, (Cf ) admet une branche parabolique de direction asymptotique (Oy) .
ln 2
0
X
1
x2 dt
c) • S i x :::;; 0, alors
-
n'est pas défi nie.
X
ln (
1
Six > 0 et x =f:. 1, alors t ~ - est continue sur lx; x 2 1, et
ln t
donc f (x) existe.
Enfin, f (1) n'est pas défini.
Ainsi : Def(f) = IR+ - { l } .
• f est de classe C 1 sur Def(f) et :
\;/ X E Def(f) ,
1
2x
1
x- 1
f (x) = ln (x2) - ln x = ln x ·
X
0
f ' (x)
+
f(x)
• Étude en o+
l
x dt
Pour x E]O; 1[: f(x) =
- - ,
~2 - ln t
X -x 2
d'où : 0 :::;; f (x) :::;; - - -----+ 0,
- ln x x --->0+
ce qui montre: f (x) -----+ O.
x ---> O+
+oo
+
On complète donc f par continuité en 0 en posant f (0) = 0.
.
f(x)-f(O)
1 -x
Puis : O :::;;
:::;; - - - -----+ 0 ,
X
ln X x --->O+
donc f est dérivable en 0 et!' (0) = 0.