-0
0
c
:J
0
(V)
ri
0
N
@
..._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
Notons, pour tout n de N* :
2n
l
Un= L
( 1)'
k=n k2 Jn l + k
2n l
V11=Lk,·
k=11
x2
J)Montrer: 'VxE IR+, x2
~ 1n(l + x) ~ x.
2) Comme:
2n ~ - ln ( 1 + ~)
Vn E N*, U 11 - Vn = L ( l )
k=n k ln ] + -
.
k
on déduit:
Vn EN*,
211
1
0 ~ Un - Vn ~ L
( l )
k=n 2k3 ln l + k
n + 1
1
:(_
~ - ----+ 0
"'
3 (
1 ) 11 00 n noo ·
2n ln 1 + -
2n
n
1
3) v11 =2= -
p=O n + p
1
11
1
[
1 dx
= ~ L 1 + E.. ~ lo 1 + x = ln 2.
p=O
n
Réponse : ln 2.
Comme: Z lb e-zt dt= [ - e-ztJ: = e-az -e-bz,
on déduit:
le-az - e-bzl = lzl ll b e-zt dt l
~ lzl lb le-ztl dt= lzl lb e-xt dt
= lzl [ e~:
1
r = l ~I (e-tu _ e-bx).
Puisque t f---7 ll f(t)l l est continue sur le compact [O; 1], il
existe (t1 Ji) E ([O; 1)) 2 tel que:
ll !U1) ll = Sup llf(t )ll, ll f(t2) ll = Inf ll f(t) ll1e fO: J]
1e [O; I]
On a alors:
ll f(t1) ll ~ ll f(t1 ) - f(t2)ll + ll f(t2 )ll
= ll l
12
f ' (t)dt ll + ll f(t2) ll
~ ll
12
Il! ' (t)l I dtl + fo
1
1 If (t) l I dt
rl
ri
~ lo ll f ' (t)ll dt+ lo llf(t)ll dt.
) 2 ( b
)2
a) ( (f (b)) 2 - (f (a)) 2 = 1 (f 2 )' (t) dt
=4(1b f(t)f
1 (t)d1)
2
et appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à!' ,Jg et jg.
b) Appliquons le résultat de a) au cas :
n
n
a = 0, b = 2 , f(t)=Lxkcos(2k-l)t, g=l.Ona
k= l
alors :
n
• f(b) = 0, f(a) = LXk
k=I
b
rr (
n
)2
· 1 J'2g = fo
2
6(2k - l)xksin (2k - l)t dt
= L (2p - 1)(2q - 1)XpXqlp,q,
où lp,q =Io~ sin (2p - l)t sin (2q - l)t dt
= ~ ( 5: (cos 2(p - q)t - cos2(p + q - l)t)dt
2 lo
= { ~ s~ P # q .
4 Sl p = q
, 1b 12 n ~ 2 2
D où :
f g = 4° L.../2k - 1) xk.
a
k=I
1
b f2
n n
• Montrer de même :
- = 4 L xf_
a g
k= I
a) Def Cf) = IR+ ; f est de classe C 1 sur IR+ et :
2
1
V x E IR+ , f ' (x) =
- ---===
J sx3 + 2x Jx3 + x
-2(2x 2 - 1)
= ,JXJsx2+2J x2+1 (2J x2 + l + J sx2 + 2)
J
X
0
-
+oo
../2
1
f'(x)
+
0
-
f (x)
---------- --------f (~) ~ 0,485.
X
1
0 < f (x ) ~ ~ ~ Jx ----+ 0
3 + X
x ----> 0 +
Etude en o+ :
X
.
f ' (x) ----+ +oo.
x----> 0+
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0
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k=n k2 Jn l + k
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x2
J)Montrer: 'VxE IR+, x2
~ 1n(l + x) ~ x.
2) Comme:
2n ~ - ln ( 1 + ~)
Vn E N*, U 11 - Vn = L ( l )
k=n k ln ] + -
.
k
on déduit:
Vn EN*,
211
1
0 ~ Un - Vn ~ L
( l )
k=n 2k3 ln l + k
n + 1
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2n
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3) v11 =2= -
p=O n + p
1
11
1
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1 dx
= ~ L 1 + E.. ~ lo 1 + x = ln 2.
p=O
n
Réponse : ln 2.
Comme: Z lb e-zt dt= [ - e-ztJ: = e-az -e-bz,
on déduit:
le-az - e-bzl = lzl ll b e-zt dt l
~ lzl lb le-ztl dt= lzl lb e-xt dt
= lzl [ e~:
1
r = l ~I (e-tu _ e-bx).
Puisque t f---7 ll f(t)l l est continue sur le compact [O; 1], il
existe (t1 Ji) E ([O; 1)) 2 tel que:
ll !U1) ll = Sup llf(t )ll, ll f(t2) ll = Inf ll f(t) ll1e fO: J]
1e [O; I]
On a alors:
ll f(t1) ll ~ ll f(t1 ) - f(t2)ll + ll f(t2 )ll
= ll l
12
f ' (t)dt ll + ll f(t2) ll
~ ll
12
Il! ' (t)l I dtl + fo
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1 If (t) l I dt
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~ lo ll f ' (t)ll dt+ lo llf(t)ll dt.
) 2 ( b
)2
a) ( (f (b)) 2 - (f (a)) 2 = 1 (f 2 )' (t) dt
=4(1b f(t)f
1 (t)d1)
2
et appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à!' ,Jg et jg.
b) Appliquons le résultat de a) au cas :
n
n
a = 0, b = 2 , f(t)=Lxkcos(2k-l)t, g=l.Ona
k= l
alors :
n
• f(b) = 0, f(a) = LXk
k=I
b
rr (
n
)2
· 1 J'2g = fo
2
6(2k - l)xksin (2k - l)t dt
= L (2p - 1)(2q - 1)XpXqlp,q,
où lp,q =Io~ sin (2p - l)t sin (2q - l)t dt
= ~ ( 5: (cos 2(p - q)t - cos2(p + q - l)t)dt
2 lo
= { ~ s~ P # q .
4 Sl p = q
, 1b 12 n ~ 2 2
D où :
f g = 4° L.../2k - 1) xk.
a
k=I
1
b f2
n n
• Montrer de même :
- = 4 L xf_
a g
k= I
a) Def Cf) = IR+ ; f est de classe C 1 sur IR+ et :
2
1
V x E IR+ , f ' (x) =
- ---===
J sx3 + 2x Jx3 + x
-2(2x 2 - 1)
= ,JXJsx2+2J x2+1 (2J x2 + l + J sx2 + 2)
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1
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1
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Etude en o+ :
X
.
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