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0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
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.......
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O'l
·;::::
>0..
0
u
a-111 f( t ) d
0
• x
- - t ---4IJ
t°'
x --->0 +
(car 1J est fixé).
Il existe donc 1J2 E]O; 1)] tel que :
Finalement, en notant 1)3 = Min (1J 1,1J2) > 0 , on a:
V x E]O; 1)3], lxa- l {1 f(t) dt - f(O) 1 (; _ s _ + 2s .
l x t°'
a - 1
a - 1
Réponse:
f(O)
a- 1
Soit s > 0 fixé.
1) Puisque f est continue par morceaux sur [a; b ], il existe
e : [a; b ] ---4- E en escalier telle que
s
Il! - el loo <
(cf. 2.3.3 Th. p. 127).
3(b - a)
On a alors, pour tout x de lR :
l llb f(t )lsin (xt ) I dt - lb e(t) lsin xt l dt l 1
l
b
s
(;
ll f(t) - e(t) ll lsin xt l dt (; -.
a
3
2) Il ex iste une subdivision ao, ... ,aN de [a; b] adaptée à e ;
pour chaque i de { 0, ... , N - l} , notons /\; la valeur de e sur
]a;; a;+ J [ .
On a, pour tout x de lR :
lb e(t)lsin (xt) ldt = ~ (1:; +
1
lsin(xt)l dt ) /\;.
Soit i E (0, ... ,N - 1) ; par le changement de variable u = x t ,
on a, pour tout x de JR~ :
l
a;+I
l [. x ai+ I
lsin (xt) I dt = -
lsin u l du .
~
X X~
Pour i E (0, ... ,N - l } et x assez grand, il existe (k,l) E -z, 2
tel que:
(k - l )n < xa; (; kn < ... On a alors :
l [. xa;+ 1
1 [.krr
-
.
lsinuldu = -
lsinu l du
X xa;
X x a;
f, - k lorr
1 1 .Xll;+I
+ - -
lsinu l du + -
lsin u l du .
X
0
X lrr
l [.krr
1 le xa;+ I
•O (; -
lsinuldu + -
lsinu l du
X xa;
X lrr
2 lorr
(; -
lsin ul du ---4- O.
X o
x--->+oo
l - k lorr
2(l - k)
• - -
lsinu l du=
.
X
0
X
Comme
(l - k)n (; x(a;+I - a;) < ((l + 1) - (k - l ))n ,
on a:
2(a;+1 -a;)
4
l-k
2 (a; +1 -a;)
----'----- - - < 2 - - (;
.
1T
X
X
1T
On obtient ainsi :
1 [.Xll ;+ I
2
-
ls in u l du ---4- - (a;+1- a;),
X
xa;
x--->+oo n
d'où lb e(t ) lsin(xt) I dt
2N-1
=~ 1be.
-
L (a; +I - a; ) /\;
x---> +oo 1T i=O
1T a
Il existe donc xo E JRi tel que : V x E lR,
D'autre part :
1 1
2 lb 2 lb l I 2 lb 2s s
-
e - -
f (; -
li e - ! Il (; - (; -.
1T a
1T a
1T a
3n
3
Ainsi, pour tout x de lR tel que x ? xo :
ll l b f(t) lsin (x t )l d t - ~ lb f(t) dt ll (; s.
Réponse: 21b
-
f.
1T a
cosx -(1 -~)
1) Puisque
x 4
---4- -
x--->0 24 '
il existe (a, A ) E (1Ri ) 2 tel que :
Vx E [-a;a], oosx - (1 - x;) , ; ; Ax4
2) En notant U n= t ( cos ~ - i) et
k=O
v n + k
n
- 1
l
v,, = L
, on a, pour tout n de N tel que n ? 2 :
k=O 2(n + k)
a
lu11 - vn l = lt ( cos - 1 -(1 - l ))1
k=O
J n +k
2(n + k)
n
1
A (n + l )
(; A ' °"'
(;
---4- O .
{::o (n + k)2
n2
1100
3)
v,, = _2_ ~ _ l _ ---4- -~ fi _ l _ dx
2n L
k 11 00 2 } 0 1 + x
k=O 1 + -
n
1
1
= -- [ln (l + x)] 0
1 = - - ln 2.
2
2
1
Réponse: -- ln 2.
2