"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Soit s > 0 ; il existe 17 > 0 tel que :
'V (x', x") E IR 2 , (lx' - x"I :::;; 11 ==? lf(x ' ) - f(x" ) I :::;; s).
Soit n E N* tel que n ~ E ( ~) + l.
1
On a: 'V x E IR, 'V t E [x; x + - ], lf(t) - f(x ) I :::;; s ,
n
d'où : 'V x E IR,
lfn(x)- f(x) I = n lix+~ (f(t) - f(x))dt l
x+.!.
:::;; n 1 n lf(t)- f(x)ldt :::;; S .
Notons, pour n E N*,
1 (
1 n 1)
=2n
2= - .. -z=k
2 ,;;i ,j ,;;n -/lJ k= 2
~ 2~ ( (t, ~)' -t,~)
1
•L'application x r----+ .jX est décroissante sur [l; +oo[, d'où
~
n+l dx
n
1
li" dx
- ~ z=- ~
-
2
.jX "' i=2 ,Ji "' 1 .jX'
c'est-à-dire
et donc
n
1
2cJn+I - -./2) :::;; z= r.:::;; 2 i=2 .YI
11
1
"""""'- rv 2-/ri.
L., ,Ji 11 00
1= 2
n 1
•De même: """""' - "' ln n.
L., k 11 00
k=2
Réponse: 2.
t(l + t + o(t)) - (t + o(t 2 ))
2
2
--'? l,
Arcsint
t + o(t )
1-+ 0
e
1
1
donc t r----+
.
- - est bornée au voisinage de 0 ;
Arcsm t
t
il existe a > 0, M ~ 0 tels que :
'V t E)O; a[, 1 -Ar-=-~-in-t - ~ 1 ~ M.
a
D'où· 'V x E]O· - [
.
'2 '
Réponse : ln 2.
1
f
2
x _ el
dt - ln21
lx Arcsint
-1 { 2x ( e' - ~) dt 1 ~ Mx
- lx Arcsin t t
"'
·
Soits E]O; ~[.Ona: 'VxE IR'f_ ,O :::; r(sintldt ::;; s.
2
lo
D'autre part, pour tout x > 0 :
Comme (~ - e) (sine Y --'? ~ - ê,
2
x-+O+ 2
il existe 17 > 0 tel que :
'V x E]O; 17[, (~ - s) (sin s )x ~ ~ - 2s.
On obtient: 'Vs > 0 , 317 > 0, 'Vx E]O; 17[,
7C
Réponse:
2
7C
Io ~
7C
- - 2s :::;;
(sint)
8 dt ~ - .
2
0
2
Soit s > O. Il existe 17 > 0 tel que :
'Vt E [0; 17[, ll f(t)-f(O) ll:::;; s.
Comme a" --'? 0 , il existe N E N tel que :
11 00
Soit n E N tel que n ~ N ; on a :
'VxE[O;l], O ::;; anx ::;; 17,
d'où: 'V x E [O; 1) , llf (an x ) - f(O) ll:::;; s,
et donc fo
1
11 f(a"x)-f(O) ll dx :::;; s.
Réponse : f (0).
Soit s > O. Puisque f est continue en 0, il existe 17 E]O; 1) tel
que:
'V t E [0; 17], lf(t) - f(O) I :::;; s.
• On a, pour tout x de ]O; 17] :
l
xa- 1 j" f~) dt - xa- 1 j" f~O) dtl
X
t
X
(
:::;; x a- 1 { " lf(t) - f(O) I dt
lx
ta
a- 1 1 1' / dt
S
(
(X)a-l) S
:::;; X
S
-
= - - 1 - -
:::;; - - .
x ta
a - 1
1'J
a - 1
Et: xa- l J" f (O) dt
X
(a
_ f (0) (i _ (~)a-l) --'? f (0)
- a - 1
1'J
x -->0+ a - 1 ·
Ceci montre qu'il existe 111 E]O; 17] tel que :
1
1 1" f (t) f (0) 1 s
'V X E]O; 17J] , Xa -
-
dt - - - :::;; - - +S.
x t a
a - 1
a - 1
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