-0
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
1
Mais, pour tout c de ]O; 2:], Un )n converge uniformément
vers 0 sur [c; 1 - c] puisque:
'Vx E [c; l - c], 0 :::;; fn(X ) :::;; 2na(l - c)n+ I.
•Si a < 1 , montrer qu'il existe C E IR+ tel que :
VnEN*, VxE[O;l], xn(l-x) ::;; ~,
n
d'où: Vn EN* , 'Vx E [0; 1] ,
Réponse:
2C
0 :::;; fn (x) :::;; --r=;; .
n
•Si a < 1, (/ 11 )n converge uniformément vers 0 sur [O; l]
• Si a ~ 1, (/ 11 ) 11 ne converge pas uniformément vers 0 sur
1
1
[0; 2: ] ni sur [2: ; 1] , mais converge uniformément vers 0 sur
tout [a; b] tel que 0 < a :::;; b < 1.
a) En utilisant les changements de variables t = x - n,
n
u = x - 2:, montrer :
fn(X) -----+ 0 et fn(X) -----+ O.
X~ll
x ------:.~
b) J) Convergence simple
Pour x E IR fixé, on a, pour n ~ 2E( lxl) + 1 :
1
lfn(x) I :::;;
(n ) -----+O.
(n - X) - - X noo
2
2) Convergence uniforme
L'application ep : IR -----+ IR définie par
1
sin2rrt si t =f. 0
ep(t) =
t
est continue sur IR et de
2rr
si t = 0
limite nulle en - oo et +oo.
En déduire qu'il existe M E IR+ tel que :
V t E IR , lep(t) I :::;; M.
*
1
De plus: V t E IR , lep(t) I:::;; - .
lt 1
Remarquer:
V x E IR, f,,(x) = (-l)nep(x - n)ep(x - ~).
Soient n E N*, x E IR .
•
3n
Si x ::;; 4 , alors
l
4
lep(x - n) I :::;; - - :::;; -
n -x
n
lep (x - ~) I:::;; M, d'où lf,,(x)I :::;;
4
: .
3n
•Si x ~ 4' alors lep(x - n) I :::;; Met
lep (x - ~) I:::;; x ~ ~ : : : ; ; ~· d'où lf,,(x) I:::;;
4
: .
2
Ceci prouve :
V n E N*, V x E IR,
4M
lf,,(x) I:::;; - .
n
Réponse: (f 11 )n converge uniformément sur IR vers O.
et
lf(x) I
V n E N, 'Vx E IR, lfn(x) - f(x) I = l + n(f(x)) 2 .
Etudier les variations de ep,, : IR+ -----+ IR et déduire
1
llep,, lloo :::;; 2
.Jri, ·
t
t 1-----+ - - -
1 + nt2
Soit é > 0 fixé. Il existe N E N tel que :
'Vn E N, 'V y E Y, (n ~ N ==> ll gn(Y) - g(y) ll :::;; é).
Soit n E N tel que n ~ N ; on a :
V x EX, ll gn o f(x) - g o f(x) ll :::;; é.
Pour chaque n de N, il existe Xn E X tel que fn (x 11 ) = 0.
Puisque X est compact, il existe une ex tractrice a et l E X tels
que x noo
• 'Vn E N, ll f(l) - f :::;; ll J(l) - f(X • f(x)-----+ f( l ) (car f est continue en l)
1100
• ll f(x formément vers f).
Ainsi : f (l) =O.
m :::;; f :::;; M ==> (M - f)(f - m) ~ 0
==> fol (M - f)(f - m ) ~ 0
==>-fo
1
J
2 +(m+M) fol f-mM ~ O
==> fol f2 :::;; -mM.
fol (C!(l - g))2 + (g(l - f))2)
=fol ((/2 + g2 + 2f2g2) - 2fg(f + g)) =O.
Comme (f(l - g)) 2 + (g(l - f)) 2 est continue et ~ 0 , on
déduit (f(l - g)) 2 + (g(l - f)) 2 = 0 ,
puisf (1 - g) = g(l - f) = 0, ce qui montre que f et g prennent leurs valeurs dans {0, 1}. Utiliser le théorème des valeurs
intermédiaires.
11
Soit f = L lfk1 2 ; f es t co ntinu e, f ~ 0, f =f. 0 ,
k= I
donc lb f > O.
1
Prendre Uk = - b-fk.
1
f
(/