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0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Notons B = (e1 , ... ,en ) la base canonjque de !Rn ;
on obtient, par multilinéarité et alternance :
Vt E IR, rp(t)= deta (e 1 +tl(e1) , ... ,en +tl(en))
n
=l +t l:deta(e1, ... ,f(e;) , ... en)+ o (t),
i= l
t-> O
d'où
n
rp(t) - rp(O)
- - - - - - - +
1--*Ü
L deta (q, . . . ,f (e; ), ... ,en).
i= I
En notant A = (aij )ij la matrice de l relativement à B , on a :
n
Ldeta (e , , ... ,f(e;) , ... ,en )
i= I
11
=L:
i= l
0
Il
=L a;;= tr (A) = tr(f).
i=I
Réponse : rp' (0) = tr (f).
0
J) Les théorè mes généraux montrent quel est dérivable en tout
point de] - 1; l[-{0}.
D'autre part :
1
t Stn - ,t COS -
1
( . 1 1)
- (f(t) - l(O)) =
t
t
t
(0,0)
donc lest dérivable en 0 et l' (0) = (0, 0).
2) Vt E]O; 1 [,
-----+ (0 ,0)
t->0+
-----+ (0,0) '
t->Olll'(t)ll~ = (2t sin~ - cos ~)
2
+ (2tcos~ + sin~)
2
t
t
t
t
= 4t 2 + 1 ~ 1.
Ainsi , l ' (] - 1; 1 [) est la réunion de {(0, 0)} et d'une partie
non vide de IR 2 située en dehors de la boule B(O; 1), ce qui
montre quel' (] - 1; 1 [) n'est pas connexe par arcs.
a) 1) Convergence simple
Pour x E IR fi xé et n ~ 2 :
f, (x ) = nArctan ( x + ~)- ( x - ~)
n
l + (x+~)(x-~)
= nArctan (
~ ) -----+
2
2
1
noo ~ ·
l +x - -
n 2
2) Convergence uniforme
Montrer (par étude de variations de fonctions) :
'v' t E IR+,
t3
0 ~ t - Arctan t ~ 3
.
En déduire, pour tous n E N - {0, 1} et x E IR :
2
8
0 ~ - - - -
1
- - ln(X) ~ 3
n.
1 +x2 - -
n2
D'autre part
2
2
2
o ~ - - - - - - - - ~ -
1
l + x2
n 2.
l + x2 - 2
n
2
En déduire: ll ln - ll loo -----+ 0, où l: x t--+ - - 2 .
noc
1 +x
Réponse : Cln)n co nve rge uniformé me nt sur IR ve rs
l : IR -----+ IR
2
X t--+ - -
1 +x2
b) J) Convergence simple
1
Pour x E IR~ fi xé, ln (x) -----+ Arctan - .
noc
X
rr
Et ln (0) = Arctan n -----+ - .
noc 2
2) Convergence uniforme
Pour n E N* et x E IR~ :
n+x
jin (x ) - Arctan~ 1 = Arctan ~+ ~ ~
l + - - -
1 +nx x
= Arctan (
x
2
-
1
)
nx2 + n + 2x
lx 2 - l I
x 2 + 1
1
~ -~--- ~ -~---- ~ - .
nx 2 + n + 2x
n(x2 + 1) + 2x
n
Réponse : Cln)n converge unifo rmément sur IR+ vers
l :
IR+ -----+ IR
rr
x r--+ - - Arctan x
2
c) 1) Convergence simple
Pour x E]O; l[ fi xé, ln(x)-----+ 0 par prépondérance des
1100
exponentielles sur les puissances ; et f,, (0) = ln (1 ) = 0.
2) Convergence uniforme
Remarquer d'abord :
• Si a ~ 1, Un ) 11 ne converge pas uniformément vers 0 sur
[O; 1] , puisque l n ( ~) ---;(;;;: O.
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