-0
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
ï::::
>0.
0
u
En particulier, en remplaçant x par f *(y) :
1lf* (y)l1
2 :::;; 111 ! 111 llJ*(y )l I llyl l.
Si ll f*(y) ll # 0, on déduit ll f*(y) ll :>;; ll lf lll llYl l ; cette
dernière inégalité est triviale si 1 IJ*(y) l I = 0.
On a ainsi montré :
Vy E E, llf* (y ) ll :>;; ll lf lll llY ll ,
donc f* E 12C(E) et 111!*111:>;; 11 1! 111.
b) Appliquer a) à f et à f* :
111 !* 111:>;; 11 1! 111et 111! 111 =11 1!**111:>;;111!*1 11 .
c) • Il l!* o !Ill:::;; 111 !*11 1111 ! 111 = 11 11 111
2
• Vx E E, l If (x) l 1
2 = < f (x),f (x) >
= < x , f* o f(x ) > :>;; llxl l ll (f* o f)(x)ll
:::;; Ill !* o f ll l llxl l
2 ,
d'où 111 1 111
2 :::;; Il l!* o !Ill .
1) Soit f convenant.
En appliquant l'hypothèse à 1 - t et à t , on a, pour tout t E lR :
f(t)=2f(l-t) + 3i =22f(t)+3i +3i =4f(t)-3i ,
d'où:
V t E lR, f (t) = i.
2) Réciproquement, il est clair que l'application constante
égale à i convient.
Réponse : { f : lR -----+ «:::, t r----+ i } .
On a, pour tout x E JR, en appliquant l'hypothèse à x et à x + 1 :
f (x) = f(x + l)f(x - 1) = (f
f(x + 2)f(x - 1) = 1,
ou encore, en remplaçant x par x + l :
1
V x E JR, f(x + 3) = - - .
f (x)
Alors:
1
V x E JR, f (x + 6) = f (x + 3
) = f (x) ,
donc f e st 6-périodique.
Remarquer que M est croissante.
Soit x E lR+ ; on a :
Vt E [0; x] ,
l
1
llf(t )ll :>;; A+ 2.M(t) :>;; A+ 2.M (x) ,
1
d'où M(x) :::;; A+ 2.M(x), puis M(x) :::;; 2A .
Enfin: Vx E lR+, ll f (x) ll :>;; M (x) :>;; 2A.
Pour tout t de JR* : f (t)
sh t
d'où: Vn E N*,
sht f (b)
f(t) = 2n ( t ) .
sh -
2n
En déduire la valeur de f (t) en faisant tendre n vers + oo et
shu
en utilisant la continuité de f en 0 et -
~ 1.
U
u-+ 0
Examiner la réciproque.
Réponse: { f : lR -----+ JR 2 ; V t E JR,
f (t) = 1 ( _ s~ t , s~ t )
( -1 , 1)
L'application
si t # O }·
si t = 0
t r----+ lf(t) 1 2 = (Ré(f(t))) 2 + (lm(f(t))) 2
est continue sur le compact [a ; b] et à valeurs > O.
Appliquer 1.3.1 Cor. p. 60.
J ère méthode: Notons g = Ré (f), h =lm (f); g eth sont dérivables sur let f = g + ih. On a :
Ré (!') = gg' + hh'
f
g2 + h2
1
= 2.(ln o (g
2 + h 2 ))' =(ln lfl) ' .
Puis: If 1 /
~ln o If 1 /
~ (ln If I)' ~ O.
2 ème méthode : Puisque f ne s'annule pas et que u r----+ Ju est
dérivable sur ]O; +oo[, d'après les théorèmes généraux,
lf l =/Ji est dérivable sur let:
l f l' =~J'f+J]' = / f i Ré(!' )
2 / f i
f
'(!')
Puis : lfl /
~ l f l'~ O
~Re f ~ O.
Rai sonnons par l'absurde : supposons que f admette une infinité de zéros. Puisque [a; b] est compact, il existe alors une suite
(xn) n EN de zéros de f et c tels que :
[
VnEN, Xn# C
Xn -----+ C
noo
Par continuité def, on déduitf(c) = 0; puis, d'après l'hypothèse: f ' (c) #O.
Comme f(x) -----+ f ' (c) # 0 , au voisinage de c (sauf
x - c x ---+c
en c ) , f ne s'annule pas, ce qui contredit la définition de c .
0
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En particulier, en remplaçant x par f *(y) :
1lf* (y)l1
2 :::;; 111 ! 111 llJ*(y )l I llyl l.
Si ll f*(y) ll # 0, on déduit ll f*(y) ll :>;; ll lf lll llYl l ; cette
dernière inégalité est triviale si 1 IJ*(y) l I = 0.
On a ainsi montré :
Vy E E, llf* (y ) ll :>;; ll lf lll llY ll ,
donc f* E 12C(E) et 111!*111:>;; 11 1! 111.
b) Appliquer a) à f et à f* :
111 !* 111:>;; 11 1! 111et 111! 111 =11 1!**111:>;;111!*1 11 .
c) • Il l!* o !Ill:::;; 111 !*11 1111 ! 111 = 11 11 111
2
• Vx E E, l If (x) l 1
2 = < f (x),f (x) >
= < x , f* o f(x ) > :>;; llxl l ll (f* o f)(x)ll
:::;; Ill !* o f ll l llxl l
2 ,
d'où 111 1 111
2 :::;; Il l!* o !Ill .
1) Soit f convenant.
En appliquant l'hypothèse à 1 - t et à t , on a, pour tout t E lR :
f(t)=2f(l-t) + 3i =22f(t)+3i +3i =4f(t)-3i ,
d'où:
V t E lR, f (t) = i.
2) Réciproquement, il est clair que l'application constante
égale à i convient.
Réponse : { f : lR -----+ «:::, t r----+ i } .
On a, pour tout x E JR, en appliquant l'hypothèse à x et à x + 1 :
f (x) = f(x + l)f(x - 1) = (f
f(x + 2)f(x - 1) = 1,
ou encore, en remplaçant x par x + l :
1
V x E JR, f(x + 3) = - - .
f (x)
Alors:
1
V x E JR, f (x + 6) = f (x + 3
) = f (x) ,
donc f e st 6-périodique.
Remarquer que M est croissante.
Soit x E lR+ ; on a :
Vt E [0; x] ,
l
1
llf(t )ll :>;; A+ 2.M(t) :>;; A+ 2.M (x) ,
1
d'où M(x) :::;; A+ 2.M(x), puis M(x) :::;; 2A .
Enfin: Vx E lR+, ll f (x) ll :>;; M (x) :>;; 2A.
Pour tout t de JR* : f (t)
sh t
d'où: Vn E N*,
sht f (b)
f(t) = 2n ( t ) .
sh -
2n
En déduire la valeur de f (t) en faisant tendre n vers + oo et
shu
en utilisant la continuité de f en 0 et -
~ 1.
U
u-+ 0
Examiner la réciproque.
Réponse: { f : lR -----+ JR 2 ; V t E JR,
f (t) = 1 ( _ s~ t , s~ t )
( -1 , 1)
L'application
si t # O }·
si t = 0
t r----+ lf(t) 1 2 = (Ré(f(t))) 2 + (lm(f(t))) 2
est continue sur le compact [a ; b] et à valeurs > O.
Appliquer 1.3.1 Cor. p. 60.
J ère méthode: Notons g = Ré (f), h =lm (f); g eth sont dérivables sur let f = g + ih. On a :
Ré (!') = gg' + hh'
f
g2 + h2
1
= 2.(ln o (g
2 + h 2 ))' =(ln lfl) ' .
Puis: If 1 /
~ln o If 1 /
~ (ln If I)' ~ O.
2 ème méthode : Puisque f ne s'annule pas et que u r----+ Ju est
dérivable sur ]O; +oo[, d'après les théorèmes généraux,
lf l =/Ji est dérivable sur let:
l f l' =~J'f+J]' = / f i Ré(!' )
2 / f i
f
'(!')
Puis : lfl /
~ l f l'~ O
~Re f ~ O.
Rai sonnons par l'absurde : supposons que f admette une infinité de zéros. Puisque [a; b] est compact, il existe alors une suite
(xn) n EN de zéros de f et c tels que :
[
VnEN, Xn# C
Xn -----+ C
noo
Par continuité def, on déduitf(c) = 0; puis, d'après l'hypothèse: f ' (c) #O.
Comme f(x) -----+ f ' (c) # 0 , au voisinage de c (sauf
x - c x ---+c
en c ) , f ne s'annule pas, ce qui contredit la définition de c .