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Notonsu = T/ (- X _ J -, ... . ~).On a v(u) = ry,donc
llx 1 llE 1
llxn llE,,
ll 11<11Cx) ll F < (~r 11x1ll E, · ... · llxn ll E., ·
• Si (3k E {1 , ... ,n ) , Xk = 0) , alors n-linéaire.
Ceci montre :
( l)"
"lx E P, ll (i i) ===? (i)
Supposons qu'il existe M E IR+ tel que:
"lx E P, ll Soient x = (x 1, ... ,x 11 ) E P, x' = (x(, ... ,x~) E P ;
notons, pour chaque k de {l , ... ,n), h k = x~ - Xk,
eth = (h, , ... ,h 11 ) =x'-x. Ona:
ll rp(x') - rp(x) ll F
= ll = ll (rp(x 1 + h1 ,x2 + h 1, ... ,Xn + h n)
- + ( - + ... + ( - = ll rp(h 1 ,x2 + h1, ... ,Xn + hn)
+ + . . . + :::::; ll<11(h 1 ,x2 + h1 ,. · · ,Xn + hn) ll F
+ l lrp(x1 ,h2,x3 + h3, . . . ,Xn + hn) l IF
+ · · · + ll<11(x 1 ,. · · ,x 11 _ 1,h11) ll F
:::::; M ll h1 ll E 1 llx2 + h 1 ll E 2 · ••• • llxn + h,, llE,,
+ Mllx 1 ll E1 ll h2 ll E2 llx3 + h3 llE3 · · · · · llxn + hn ll E,,
+ · · · + M llx 1 ll E1 · · - llx11- 1 ll E,,_ 1 llhn ll E,,
:::::; nMv(h)(v(x) + v(h))
11
-
1 ,
en majorant chaque llhk llEk par v(h ) et chaque llxk ll Ek ou
llxk + h k ll Ek par v(x) + v(h ).
On en déduit, pour x fixé: rp(x' ) ~ rp(x),
x '---+ x
et donc

1) Soient g ,h E .C(E) telles que :
2
{ < f(x),y > = < x,g(y ) >
V(x , y)EE,
.
< f(x),y > = < x ,h (y) >
Alors: V(x ,y) E E 2 , < x ,(g - h)(y) > = 0,
d'où: Vy E E, (g - h )(y ) = 0,
et donc g = h.
2) On a, pour tout (x ,y) de E 2 :
a) < x ,(f* + g*)(y) >
= < x,f*(y) > + < x ,g*(y) >
= < f (x) ,y > + < g (x) ,y > = < (f + g)(x),y >
b) < x ,Àf*(y) > = I < x,f*(y) >
= I < f(x),y > = < (Àf)(x),y >
c) < x ,(f* o g*)(y ) > = < x,f*(g*(y )) >
= < f (x) ,g*(y) > = < g(f (x)) ,y >
= < (g o f)(x),y >
d) < x,f(y ) > = < f(y) ,x > = < y,f*(x) >
= < f*(x) ,y > .
3) Soit x E F l. . On a:
Vy E F,
< f*(x),y > = < x,f**(y) > = < x,f(y) > = 0 ,
car X E F l. et f (y) E f (F) c F.
D'où : f*(x) E p l. .
4) (i) • Soit x E Ker(f). On a :
"ly E E , < x,f*(y ) > = < f(x) ,y > = < 0,y > = 0 ,
d'où X E (lm(f*))l..
• Soit x E (Tm(f*)) l. .
On a: Vy E E , < f(x),y > = < x,f*(y) > = 0 ,
donc f(x) = 0, x E Ker(f).
(ii) Appliquer (i) à f* au lieu de f:
Ker(f*) = (Im(f**))l. = (lm(f))l. .
(iii) Soit x E E. On a:
Vy E Ker(f*),
< f(x) ,y > = < x,f*(y) > = < x ,O > = 0,
donc f (x) E (Ker(f*))l..
(iv) Appliquer (iii ) à f* au lieu de f:
Jm(f*) C (Ker(f**))l. = (Ker (f))l. .
5) • "lx E E, (x E Ker(f) n Ker(g)
===? f(x) = g(x) = 0 ===? (f + g)(x) = 0
===?X E Ker(f + g)) .
• Réciproquement, soit x E Ker(f + g) .
On a:
(f* o f)(x) = f*((f + g)(x)) - (f* o g)(x) = 0,
d'où
llf(x) ll 2 = < f(x),f(x) > = < x , f*(f(x)) > = 0,
et donc f (x) = 0, puis g(x) = (f + g)(x) - f (x) = 0.
Finalement: X E Ker(f) n Ker(g).
6) a) Soit y E E. On a, pour tout x de E :
1 < x , f*(y ) > 1= 1 < f(x) ,y > 1 :::::; ll f (x) ll ll yll
:::::; lll f lll llx ll lly ll .
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