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0
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0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>Q.
0
u
donc: MJ(IR) = S3(IR) + A3(IR).
•Pour toute M E MJ(IR) :
ME S3(IR) n A3(IR) {::=:::}
1 M = M = -M ===} M = 0,
donc: S 3 (IR) n A 3 (IR) = {0}.
• Pour toute S E S 3 (IR) et toute A E A 3 (IR) :
< S ,A > = tr (SA) = tr (SA)= tr (CSA)) = tr ('A
1 S)
= tr(-AS) = -tr(AS) = -tr(SA) = - < S ,A > ,
donc: < S , A > =O.
D'ailleurs, ce troisième point entraîne le deuxième.
Réponse: PF(M) ~ (-:~
-
2
0
1
2
On a, pour tout (A , B) de (M,,(IR))2 :
tr(AB) = tr(
1 (j(A))B) = < f(A),B > = < A , f*(B) >
= tr(
1 Af*(B)) = tr(f*(B)
1 A)
= tr(
1 (j*(B)'A)) = tr(A
1 (j*(B))).
Puisque (X, Y) f---+ tr(
1 X Y) est un produit scalaire sur M,, (IR)
(le produit scalaire canonique sur M,, (IR)), on en déduit, pour
toute B de M,, (IR) , B =
1 ( f* (B)), et donc :
VB E Mn(IR), j*(B) =
1 8 = f(B).
Réponse : f* = f
a) • V(M , N)E (M 11 (IR))
2
, < fA(M) , N >= < M,f; (N) >
2
{::=:::} V(M ,N) E (M,,(IR)) , tr(
1
M
1
A N) = tr(
1
M f*(N))
{::=:::} VN E M ,,(IR) , J;(N) =
1
A N.
•V(M,N) E (M,,(IR)f , < gs(M) , N > = < M,g8(N) >
2
{::=:::} V(M ,N) E (M,,(IR)) , tr(
1 B
1 MN) = tr(1Mg8(N))
{::=:::} V(M ,N) E (M,,(IR))
2
, tr(
1 MN
1 B ) = tr(
1 M gÊJ(N))
{::=:::}V N E M,, (IR) , gê(N) = N
1 B.
Réponse: J; = fiA et g8 = gis.
< hA(M) , N > = < M , h~(N) >
{::=:::} V(M ,N) E (M,,(IR))
2
,
tr(
1
(tr(M)A)N) = tr(
1
Mh~ (N))
{::=:::} V(M , N) E (Mn(IR))
2
,
tr(M)tr(
1
AN) = tr( 1 Mh~(N))
2
{::=:::} V(M , N) E (Mn(IR)) ,
tr(
1
Mtr(
1
AN)I,,) = tr(
1
Mh~(N))
{::=:::} VN E M ,,(IR), h~(N) = tr(
1 AN)I,,.
Réponse : h~ : M n (IR) ---+ Mn (IR).
N f---+ tr(
1 AN)I,,
===}:
Supposons Ker(j) C Jm(j) .
Soit x E Etel que (j + f*)(x) = 0.
On a alorsf*(x) = -f(x) E Jm(j) C Ker(.f)
(car f 2 = 0), donc f (f*(x)) = 0,
puis llf*(x) ll 2 = < x,f(f* (x)) > = 0,
donc f*(x) = 0, f(x) = - f*(x) =O.
On a alors x E Ker(f) C Jm (.f) ; il existe donc y E E
tel que x = f( y ) , d 'où f*(f( y )) = f*(x) = 0, puis
ll f(y) ll 2 = < y, f*(f(y)) > = 0, donc x = f(y) =O.
Ceci montre que f + f * est injectif, et donc, puisque E est de
dimension finie,f + f* E Ç.C,(E).
{:::== :
Supposons f + f* E Ç.C,(E) .
Soit x E Ker(.f). JI existe z E Etel que x = (j + f*)( z ), et
on a:
O = f(x) = t(U + f *)(z)) = f
2 (z ) + f(f * (z ))
= f(f*(z)) ,
donc ll f*(z) ll 2 = < z ,f(f*(z )) > = 0,
d'où f*( z ) = 0 , x = f( z ) + f*(z) = f( z ) E Jm(j).
On conclut : Ker(j) C Im(.f).
n
Notons P = [1 Ek, muni de la norme v définie par:
k= l
v(x , , ... ,xn)= Max llxk llEk (cf. l.1.13)b) p.8),
l ~ k ~n
où Il · ll Et est la norme donnée dans Ek.
(i) ===} (ii)
Supposons cp continue. En particulier, cp est continue en 0 ; il
existe ry > 0 tel que :
Vu E P , (v(u) ~ 1"} ===} llcp(u) ll F ~ 1).
Soit x = (x1 , ... ,x,,) E P.
•Supposons: Vk E {l , ... ,n}, Xk i= O.