"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Ceci montre : (V d E]c; l[, g(d) = 0), puis, par continuité
de g sur [O; l]:
V d E [c ; l] ,g (d) = O.
3) En appliquant le résultat de 1) à f = g et en tena nt compte
de la conclusion de 2), on obtient :
c foc g2 = (foc g r ,
ou encore : (foc i 2) (foc g 2 ) = (foc gr
D'après l'étude du cas d'égalité dans l'inégalité de CauchySchwarz (cf . § 1.6.2 Prop. 1), il existe a E IR , tel que:
V x E [O; c], g(x) =a ; puis g =O.
c) H H = {0} 1- = E # H car 1 ~ H .
1
a) • Soit g E C. On a, pour toute f de P, fo
1
fg = 0 et
hl fg =0 , d'où < f ,g > =0, etdoncg E p l. _
2
• Réciproquement, soit g E p l. .
1
Supposons qu'il existe xo E]2:; 1[ tel que g (xo) =fa 0, par
exempl e g(xo) > 0. Puisque g est continue en xo, il ex iste
rJ E]O; l[ tel que:
1
1
-< XQ - rJ < XQ + rJ < 1
~ x E [xo - ry ; xo + ry ], g(x) > O.
JI existe f : [O; 1] ---7 IR continue tel le que :
{
V XE [0; 1] - ]xo - ry ; XQ + ry[, f(x) = 0
\lx E]xo - ry ; xo + ry[, f (x) > 0
(construire f affine par morceaux).
Comme f E P et g E p l., on a:
< f ,g > =O.
li
!
l xo+ry
Mais < f ,g > =
fg ?
fg > 0 , d'où une contra0
xo- ry
diction.
1
Ceci montre : V x E] 2:; l [, g (x) = 0 , puis, par continuité de
l
g : V x E [2:; l], g(x) = 0 , c'est-à-dire g E C.
Finalement : p l.. = C.
La relation c l.. = P se prouve de la même faço n.
b) • F .l...l.. = (F .l.. ).l.. = C l.. = F .
• Soit Il exi ste (f,g) E Px C tel que On a donc F EB p l.. # E .
Plus précisément :
p œ p l.. = p œ c = { c) {
( P n C).l.. = {0} .l.. = E
p l.. + c l.. = C + P =fa E (cf. b)).
1) Soit x E (Jm(e - f)) .l.. ; nous a ll o n s montre r
x E Ker(e - f).
On a: < x ,x - f(x ) > = 0, d'où llx ll 2 = < x,f(x) > .
Alors : llx ll 2 = 1 < x ,f(x) > 1 ~ l l x l l 11 /(x) l l
~ ll lf lll llx ll
2
~ llx ll
2 ,
d'où llx ll 2 = 1 < x,f(x) > 1= llx ll1 1/(x) ll.
L'étude du cas d 'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz
montre qu'il existe a E C tel que f (x) = ax.
On obtient: llx ll 2 = < x,f(x) > = a llx ll 2 •
d'où (si x# 0) a= 1, f(x) = x , x E Ker(e - f).
2) Réciproquement, soit
(x ,y) E (Ker(e - f)) x (lm (e - f)).
Il existe z E Etel que: y = (e - f)( z) = z - f (z).
Nous allons montrer < x, z - f( z ) > =O.
On a: VÀ E C, 11 /(ÀX + z)ll 2 ~ ll ÀX + zll 2 .
En développant et en utilisantf(x) = x , on obtient :
VÀ E C,
2Ré(À < x ,z - f(z) > ) + Cllzll
2 - ll f(z) ll
2 ) ? 0,
t
et donc, en, choisissant À = 2: < x, z - f (z) > :
Vt E IR, ~ I < X ,Z - f( z ) > 1
2 + ( 11z11
2 - ll f(z) l1
2
) ? O.
En faisant tendre t vers +oo puis vers -oo, on déduit :
I < x ,z - f( z ) > 1
2 =O .
Ceci montre: K er(e - f) C (Im(e - f)).l.. .
En notant T ;.; (IR) Je sev des matrices triangulaires inférieures
à diagonal e nulle, c'est-à-dire :
montrer que T 2 .s (IR) et T;,; (IR) sont supplémentaires orthogonaux dans M 2 (IR).
Les sev S 3 (IR) et A 3 (IR) sont supplémentaires orthogonaux dans
M 3 (IR) . En effet:
• On a, pour toute M E M3 (IR) :
1
l
1
l
M = - (M + M) + - (M - M)
2
2
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Ceci montre : (V d E]c; l[, g(d) = 0), puis, par continuité
de g sur [O; l]:
V d E [c ; l] ,g (d) = O.
3) En appliquant le résultat de 1) à f = g et en tena nt compte
de la conclusion de 2), on obtient :
c foc g2 = (foc g r ,
ou encore : (foc i 2) (foc g 2 ) = (foc gr
D'après l'étude du cas d'égalité dans l'inégalité de CauchySchwarz (cf . § 1.6.2 Prop. 1), il existe a E IR , tel que:
V x E [O; c], g(x) =a ; puis g =O.
c) H H = {0} 1- = E # H car 1 ~ H .
1
a) • Soit g E C. On a, pour toute f de P, fo
1
fg = 0 et
hl fg =0 , d'où < f ,g > =0, etdoncg E p l. _
2
• Réciproquement, soit g E p l. .
1
Supposons qu'il existe xo E]2:; 1[ tel que g (xo) =fa 0, par
exempl e g(xo) > 0. Puisque g est continue en xo, il ex iste
rJ E]O; l[ tel que:
1
1
-< XQ - rJ < XQ + rJ < 1
~ x E [xo - ry ; xo + ry ], g(x) > O.
JI existe f : [O; 1] ---7 IR continue tel le que :
{
V XE [0; 1] - ]xo - ry ; XQ + ry[, f(x) = 0
\lx E]xo - ry ; xo + ry[, f (x) > 0
(construire f affine par morceaux).
Comme f E P et g E p l., on a:
< f ,g > =O.
li
!
l xo+ry
Mais < f ,g > =
fg ?
fg > 0 , d'où une contra0
xo- ry
diction.
1
Ceci montre : V x E] 2:; l [, g (x) = 0 , puis, par continuité de
l
g : V x E [2:; l], g(x) = 0 , c'est-à-dire g E C.
Finalement : p l.. = C.
La relation c l.. = P se prouve de la même faço n.
b) • F .l...l.. = (F .l.. ).l.. = C l.. = F .
• Soit Il exi ste (f,g) E Px C tel que On a donc F EB p l.. # E .
Plus précisément :
p œ p l.. = p œ c = { c) {
( P n C).l.. = {0} .l.. = E
p l.. + c l.. = C + P =fa E (cf. b)).
1) Soit x E (Jm(e - f)) .l.. ; nous a ll o n s montre r
x E Ker(e - f).
On a: < x ,x - f(x ) > = 0, d'où llx ll 2 = < x,f(x) > .
Alors : llx ll 2 = 1 < x ,f(x) > 1 ~ l l x l l 11 /(x) l l
~ ll lf lll llx ll
2
~ llx ll
2 ,
d'où llx ll 2 = 1 < x,f(x) > 1= llx ll1 1/(x) ll.
L'étude du cas d 'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz
montre qu'il existe a E C tel que f (x) = ax.
On obtient: llx ll 2 = < x,f(x) > = a llx ll 2 •
d'où (si x# 0) a= 1, f(x) = x , x E Ker(e - f).
2) Réciproquement, soit
(x ,y) E (Ker(e - f)) x (lm (e - f)).
Il existe z E Etel que: y = (e - f)( z) = z - f (z).
Nous allons montrer < x, z - f( z ) > =O.
On a: VÀ E C, 11 /(ÀX + z)ll 2 ~ ll ÀX + zll 2 .
En développant et en utilisantf(x) = x , on obtient :
VÀ E C,
2Ré(À < x ,z - f(z) > ) + Cllzll
2 - ll f(z) ll
2 ) ? 0,
t
et donc, en, choisissant À = 2: < x, z - f (z) > :
Vt E IR, ~ I < X ,Z - f( z ) > 1
2 + ( 11z11
2 - ll f(z) l1
2
) ? O.
En faisant tendre t vers +oo puis vers -oo, on déduit :
I < x ,z - f( z ) > 1
2 =O .
Ceci montre: K er(e - f) C (Im(e - f)).l.. .
En notant T ;.; (IR) Je sev des matrices triangulaires inférieures
à diagonal e nulle, c'est-à-dire :
montrer que T 2 .s (IR) et T;,; (IR) sont supplémentaires orthogonaux dans M 2 (IR).
Les sev S 3 (IR) et A 3 (IR) sont supplémentaires orthogonaux dans
M 3 (IR) . En effet:
• On a, pour toute M E M3 (IR) :
1
l
1
l
M = - (M + M) + - (M - M)
2
2