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0
u
Ceci montre que a et a' peuvent être joints par un arc dans A ,
et donc A est cpa.
De même pour B.
Notons A = LJ A ;.
i e /
Soit (a ,a') E A 2 ; il existe (i ,j ) E 1 2 tel que:
a E A; et a' E A j .
Pui sque A ; 0 n A; # 0 et A; 0 n AJ # 0, il existe
b E A;o n A ; etc E A10 n Aj .
a '
A.
}
Comme A;, A1 0 , AJ sont cpa, il existe un arc Yl joignant a et
b dans A;, un arc Y2 joignant b et c dans A1 0 , un arc y3 joignant c et a' dans AJ.
Considérons l'application y : [O; 1] ~ A, obtenue par la succession de YI, yz, y3, définie par:
YI (3t)
y(t) =
yz(3t - 1)
y3 (3t - 2)
si t E [ 0; ~]
sit E [~·~] 3 ' 3
si t E rn;] l
Il est clair que y est continue et joint a et a' dans A. Finalement,
A est cpa.
Exemple : On peut appliquer le résultat précédent à l'exemple,
puisque la partie {O} x IR de IR 2 est cpa et rencontre chacune
des parties IR x {r} (r E Q) en (O,r) , et que ces parties IR x {r}
sont cpa.
Soit (a ,b) E A 2 . Pui sque A e s t cpa, il existe un arc
y : [O; 1] ~ A joignant a et b dans A . L'application f o y
est continue sur [O; l] et à valeurs réelles, donc (f o y )([O; 1])
est un intervalle de IR (théorème des valeurs intermédiaires).
Comme (f o y) ([O; l]] C {O, l} , il s'en suit que f o y e st
constante, et donc :
f( a) = (f o y) (O) = (f o y)(l ) = f(b) .
Finalement, f est constante.
3
2= i -k k=O
3
= L i-k ((x ) + ik(y ))
k=O
= ( t i - k)((x ) + (y)) +4 2
k = 4 On a, par l'inégalité de Cauchy et Schwarz:
(un 1 V11 ) ~ ll u11ll ll v11ll ~ ll u11ll b ~ ab ,
et (u 11 1 v 11 ) ~ ab , d'où, par théorème d'encadrement
1100
llunll b ~ ab, et donc, comme b i= 0 : ll un ll ~ a.
noo
noo
De même : ll v11ll ~ b.
1100
• F C F donc F1- :::::> (F)1-.
• Soientx E F1-,y E F.
Il existe une suite (y11) 11 eN dans F telle que Y11 ~ y . Comme
1100
.l'application
E ~ IK
est continue (cf. Prop. 4 p. 82),
z r----+ < x, z >
ona: < X,Y11 > ~ < x ,y > .
1100
Mais : (Vn E N,< x, y 11 > = 0) , d'où < x ,y > = O. Ceci
montre : x E (F)1- , et donc F 1- c (F )1- .
a)• La linéarité de

I • Vf E E , l = .Jcllf ll2, ce qui montre:

b) • H = H est fem1é dans E.
• Soitg E H 1- .
1 !oc
1) Pour toute f de E , il est clair que f - -
f E H,
c 0
d'où
1 !oc
< g ,f - -
f > = 0 , c'est-à-dire:
c 0
2)Soitd E]c; l[ ;supposonsg (d) i= O,parexempleg(d) > O.
Comme g est continue end, il existe 1J > 0 tel que:
{
c < d - 1] < d + IJ < 1
'Vx E [d-1] ; d+1J] , g (x) > O.
Il existe une application f : [O; l] ~ IR continue telle
que:
{
V x E [0; d - IJ] U [d + I] ; l] , f (x) = 0
V x E]d - I] ; d + IJL f (x) > 0
(construire f affine par morceaux).
, contradiction.