"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Ceci prouve : N (fp - f) -----+ 0, c'est-à-dire fp-----+ f dans
noo
noo
(E , N).
Réponse: (E ,N) est complet.
a)• Pour tout P de IC[X],N(P) existe car Pest continue sur
le compact tU, donc est bornée sur tU.
• les propriétés
N().P) = l). IN(P) et N(P + Q) :( N(P) + N(Q)
sont immédiates.
• Si N ( P) = 0, alors le polynôme P s'annule sur tU, donc en
une infinité de points, d'où P = O.
b) Nous allons montrer que (IC[X],N) n'est pas complet.
Considérons la suite (Pn) 11 eN définie par:
n
\:/n EN, P11 = L.:2- kxk.
k=O
•Soit z E tU, on a, pour tout (p,q) de N 2 tel que, par exemple,
p < q:
q
q
IPp(z) - Pq(z) I =
L rkl : : ; ; ; L
k= p+ l
k=p+ I
q-p- 1
= r 1= 0
(
1)
1 - 2-(q-p)
= 2- p+
:( 2- P,
1 -2- I
d'où N(Pp - Pq) ::;;; 2- p, ce qui montre que (P11) 11 eN est de
Cauchy dans (IC[X] , N).
• Supposons qu'il existe P E IC [X] tel que Pn -----+ P dans
11 00
(IC[X],N).
Soit z E tU. On a : IP 11 ( z) - P(z) I :( N(P,, - P)-----+ 0,
donc P,, (z)-----+ P(z). Mais :
1100
-----? - -
noo l _ ~ ·
2
noo
Ceci montre que le polynôme ( 1 - ~) P - 1 s'annule sur la
partie infinie tU, donc est le polynôme nul, contradiction sur
les degrés.
Ainsi, (P 11 ) 11 eN est de Cauchy et ne converge pas dans
(IC[X],N).
Réponse : non.
1) Soit (Uk)k eN une suite de Cauchy dans e
00 ; chaque Uk est
une suite, qu'on va noter: Uk = (uk ,11)neN .
• Soit n E N ; puisque :
2
\f(p,q) EN , lup,n - Uq ,nl :( llUp - Uq lloo,
la suite (up ,n)peN est de Cauchy dans C , donc converge vers
un élément noté Vn de C .
•Montrons que (vn)n eN est bornée. Puisque (Uk)keN est de
Cauchy, (Ukh eN est bornée; il existe donc M E lR'.+ tel que:
V k E N, llUk lloo :( M.
On a donc:
Pour n fixé, en passant à la limite quand k tend vers +oo, on
obtient : lv 11 1 :( M.
• Soit e > 0 ; puisque ( Uk heN est de Cauchy, il existe N E N
tel que:
Soit p E N tel que p ;;:: N, et n E N ; on a
\:/q E N,
(q ; ; : : N ====? lup ,n - Uq ,n l :( llUp - Uqlloo :( D,
d'où, en passant à la limite quand q tend vers +oo :
e
lup,n - Vnl :( 2·
Ceci montre: V p EN, (P ;;:: N ====? llUp - VII :( D,
(où V = (vn ) 11 eN) , et donc U p -----+ V dans (/!,
00 , 11. lloo).
p oo
Finalement : (l
00 , 11.11 00 ) est complet.
2) En notant, pour tout k de N , Ek la suite définie par :
,
{ 1 si k = n
Ek = (8k ,n)neN (ou 8k,n = 0
si k i- n, symbole de
Kronecker), la famille (Ek)keN est libre dans l
00 et infinie.
Tout point x de B(a; r) (ou B'(a; r)) peut être joint à a par
un segment inclus dans B(a; r) (ou B' (a; r))
[O; l] -----+ E
t t---+ tx + (1 - t)a
Ceci montre que B(a ; r) et B'(a; r) sont connexes par arcs.
Réponse : A = ]O; +oo[, B = ]O; 1 [.
a) Supposons A et B cpa. Soient (a ,b) E A x B ,
(a',b') E A x B. Il existe des arcs y: [O; l]-----+ A et
8: (0; 1) -----+ B tels que : y(O) =a, y(l) =a', 8(0) = b,
8(1) = b' .
L'application r : [0; 1]-----+ A x B est continue, et
(1-)> (y (t) ,8 (t))
f(O) = (a ,b), r(l) = (a
1 ,b
1
).
Ceci montre que (a,b) et (a' ,b' ) peuvent être joints par un arc
dans A x B , et donc A x Best cpa.
b) Supposons A x B cpa et A et B non vides.
Soit (a ,a') E A 2 . JI existe ho E B ; puisque A x B est cpa, il
existe un arc r joignant (a ,ho) et (a' ,bo) dans A x B. Alors
pr1 o r estcontinue et (pr1 o r)(O) =a, (pr1 o r)(l) =a'.
1 569