"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Remarque : Par une autre méthode (utilisation de la notion d'espace complet), on peut montrer que, même si E n'est pas de
dimension finie, tout sev de dimension fi nie de E est fermé.
Soit E > 0 fixé.
Puisque (u,,),,E N est de Cauchy dans (E, 11 .11), il ex iste N E N
tel que:
Comme a et r sont des extractrices, on a :
'Vn EN, a(n );;?: n et r (n );;?: n.
D'où, pour tout n E N :
_ _ _ _ _ , _ 1 a(n) ;;?: n ;;?: N
n ;;?: N _____,,
===} lluu(11) - Ur(n)ll ~ E.
r(n) ;;?: n ;;?: N
Ainsi :
' V E> 0, 3N E N, 'V n ;;?: N , lluu(11) - Ur(11Jll ~ E,
ce qui montre :
Uu (n) - Ur(n) --+ O.
1100
Soit (xn) n eN une suite dans X convergeant vers un élément x
de X. Considérons la suite (un)n eN défin ie par:
{
Xn
Un =
X
si n est pair
si n est impair.
Clairement, un--+ x; donc (un)n eN est de Cauchy dans X.
11 00
D'après l'hypothèse, (f(u,,)) 11 eN est de Cauchy dans F.
Soit E > 0 ; il existe N E N tel que :
'V(p,q) E N 2 , ({ p ~ N ===} d(f(u p),J(uq)) ~ é).
q ~ N
En particulier, comme u2N+ I = x , on a:
'V p E N, (p ~ N ===} d(f (u p),f (x)) ~ é).
Ceci mo ntre f(up)--+ j(x) ; o n a alo rs cla ire me nt
poo
f (x,.) --+ f (x), et finaleme nt f est continue.
n.oo
F étant de dimension finie est complet (cf. 1.4.2 Théorème 2
p. 70), donc fe rmé (cf. 1.4.2 Prop. 2 p. 68).
Nous allons montrer que CE2(L ) est fermé. Soit (u 11 ,v 11 ) 11 eN
une suite dans C E2 (L), convergeant vers un élément (u, v) de
E 2 . Si u = 0 , alors (u ,v) est lié. Supposons donc u f; O.
Comme l lu,, 11--+ llul 1 > 0 , il existe N E N eta > 0 tels que :
noo
'Vn EN, (n ~ N ===} ll un ll ~ a).
Et, pour chaque n de N (te l que n ~ N), il existe À,, dans IK tel
que: v 11 = À 11 u 11 •
On a, pour tout n ~ N :
IÀ,,I =~ ~ ~.
llu,. 11
a
ce qui montre que (À,,) 11 eN est bornée.
D'où:
ll v,. - À,. ull = llÀ,,(u,. - u)ll = IÀ11 l llu,. - ull --+ O.
Comme v,,--+ v, on déduit ainsi À 11 u--+ v .
noo
noo
La suite (À 11 ) 11 est de Cauchy car :
2
'V( p ,q) E N ,
noo
1
IÀp - Àq l = M ll (v - Àpu) - (v - Àqu)l l;
enfin, IK étant complet, (À 11 ) 11 converge vers un élément À de IK,
et on a :
v = Àu , (u,v) E CE2(L).
a) Vérifications immédiates.
b) Soit Cfn) 11 ef\I une suite de Cauchy dans (E,N).
• Soit x E [a; b ] fixé. Puisque:
2
'V(p,q) E N ,
l fp(x) - fq(x) I ~ llfp - fq lloo ~ N(fp - fq) ,
la suite (f 11 (x))ne N est de Cauchy dans JR, donc converge vers
un réel , qu'on note f (x), ce qui définit une application
f: [a; b] --+ JR .
• Montrons f E E.
Soit (x,y) E [a,b ] 2 . Pui squ e Cfn) 11 eN est de C a u c h y
dans (E,N) ,(f 11 ) 11 eN est bornée; il existe donc M E lR+ te l
que : 'V n E N, N(f,.) ~ M.
On a alors :
' V n EN, lfn(x) - fn(Y) I ~ N(fn) lx - Y I~ M lx - yl,
ce qui montre que f est lipschitzienne, donc f E E .
•Montrons enfin : fn--+ f dans (E,N) .
n.oo
Soit é > 0 ; il ex iste no E N tel que :
2 ({ p ~ no
& )
'V ( p ,q) E N ,
===} N(fp - fq) ~ - .
q ~ no
2
Soit p E N tel que p > no ; on a :
'V q E N, ( q ~ no ===} N (f p - fq) ~ D ,
donc:
'V x E [a; b ] , 'V q E N,
(q ~ no===} lfp(x)- fq(x) I ~ D
'V(x,y) E [a; b f ,'V q E N,
( q ~ no===} l(fp(x) - fq(x)) - (fp(Y) - fq(y)) I
~ ~ lx -y l) .
En faisant tendre q vers +oo, on obtient :
é
l
'V XE [a; b ], lfp(X) - f(x) I ~ 2
'V (x,y) E [a; b] 2 ,
l(fp(x) - f(x)) - (fp(Y ) - f(y)) I ~ ~ lx - yl,
d'où
é
é
N(fp - f) ~ 2 + 2 = E.
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dimension finie, tout sev de dimension fi nie de E est fermé.
Soit E > 0 fixé.
Puisque (u,,),,E N est de Cauchy dans (E, 11 .11), il ex iste N E N
tel que:
Comme a et r sont des extractrices, on a :
'Vn EN, a(n );;?: n et r (n );;?: n.
D'où, pour tout n E N :
_ _ _ _ _ , _ 1 a(n) ;;?: n ;;?: N
n ;;?: N _____,,
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r(n) ;;?: n ;;?: N
Ainsi :
' V E> 0, 3N E N, 'V n ;;?: N , lluu(11) - Ur(11Jll ~ E,
ce qui montre :
Uu (n) - Ur(n) --+ O.
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Soit (xn) n eN une suite dans X convergeant vers un élément x
de X. Considérons la suite (un)n eN défin ie par:
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Un =
X
si n est pair
si n est impair.
Clairement, un--+ x; donc (un)n eN est de Cauchy dans X.
11 00
D'après l'hypothèse, (f(u,,)) 11 eN est de Cauchy dans F.
Soit E > 0 ; il existe N E N tel que :
'V(p,q) E N 2 , ({ p ~ N ===} d(f(u p),J(uq)) ~ é).
q ~ N
En particulier, comme u2N+ I = x , on a:
'V p E N, (p ~ N ===} d(f (u p),f (x)) ~ é).
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f (x,.) --+ f (x), et finaleme nt f est continue.
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F étant de dimension finie est complet (cf. 1.4.2 Théorème 2
p. 70), donc fe rmé (cf. 1.4.2 Prop. 2 p. 68).
Nous allons montrer que CE2(L ) est fermé. Soit (u 11 ,v 11 ) 11 eN
une suite dans C E2 (L), convergeant vers un élément (u, v) de
E 2 . Si u = 0 , alors (u ,v) est lié. Supposons donc u f; O.
Comme l lu,, 11--+ llul 1 > 0 , il existe N E N eta > 0 tels que :
noo
'Vn EN, (n ~ N ===} ll un ll ~ a).
Et, pour chaque n de N (te l que n ~ N), il existe À,, dans IK tel
que: v 11 = À 11 u 11 •
On a, pour tout n ~ N :
IÀ,,I =~ ~ ~.
llu,. 11
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ce qui montre que (À,,) 11 eN est bornée.
D'où:
ll v,. - À,. ull = llÀ,,(u,. - u)ll = IÀ11 l llu,. - ull --+ O.
Comme v,,--+ v, on déduit ainsi À 11 u--+ v .
noo
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'V( p ,q) E N ,
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enfin, IK étant complet, (À 11 ) 11 converge vers un élément À de IK,
et on a :
v = Àu , (u,v) E CE2(L).
a) Vérifications immédiates.
b) Soit Cfn) 11 ef\I une suite de Cauchy dans (E,N).
• Soit x E [a; b ] fixé. Puisque:
2
'V(p,q) E N ,
l fp(x) - fq(x) I ~ llfp - fq lloo ~ N(fp - fq) ,
la suite (f 11 (x))ne N est de Cauchy dans JR, donc converge vers
un réel , qu'on note f (x), ce qui définit une application
f: [a; b] --+ JR .
• Montrons f E E.
Soit (x,y) E [a,b ] 2 . Pui squ e Cfn) 11 eN est de C a u c h y
dans (E,N) ,(f 11 ) 11 eN est bornée; il existe donc M E lR+ te l
que : 'V n E N, N(f,.) ~ M.
On a alors :
' V n EN, lfn(x) - fn(Y) I ~ N(fn) lx - Y I~ M lx - yl,
ce qui montre que f est lipschitzienne, donc f E E .
•Montrons enfin : fn--+ f dans (E,N) .
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2 ({ p ~ no
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'V ( p ,q) E N ,
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q ~ no
2
Soit p E N tel que p > no ; on a :
'V q E N, ( q ~ no ===} N (f p - fq) ~ D ,
donc:
'V x E [a; b ] , 'V q E N,
(q ~ no===} lfp(x)- fq(x) I ~ D
'V(x,y) E [a; b f ,'V q E N,
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En faisant tendre q vers +oo, on obtient :
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d'où
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