"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
• 2 {O Î
dt
-
2 { +oo dy
Je: cos2t + xsin2t y=tanr Jo 1 + xy 2
2 [
J+oo n
= Jx Arctan(y'xy) 0
= Jx'
Réponse : V X E JR+'
n
l(x) = Jx'
b) Notons F :]O; +oo[ x [O; rr]-----+ JR .
( X t) !------+
I
'
cos 2 r+x sin
2 1
Pour tout x E ]0 ; +oo[, F (x, ·) est intégrable sur [0 ; rr], car
F (x,-) est continue sur ce segment.
aF
-sin
2 t
L'application -
: (x, t) r----+
2
. 2 2
, est définie
ax
(COS t +X Sin t)
sur ]0 ; +oo[ x [0 ; rr], continue par rapport à x, continue par
morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HDL car tout
segment inclus dans ]O ; +oo[ peut être inclus dans un intervalle [a ; +oo[, a E ]O ; 1] et, pour tout a E ]O ; l] :
V(x,t) E [a ;+oo[x[O;rr],
l
aF
1
sin
2 t
- (x,t) =
.
ax
(cos 2 t+xsm 2 t) 2
sin 2 t
1
l
------~ ~
2 ~ - ,
(l-(l-x)sin 2 t)2 (1-(1-a)) a
2
1
et l'application constante 2 est intégrable sur le segment [O ; n]
a
(cf. aussi la Remarque 2) du § 3.5.1 p. 191) donc, d 'après le
théorème de dérivation sous le signe 1:n: , l'application lest
de classe C
1 sur ]0; +oo[ et:
V x E]O; +oo[,
1 " aF 1" -sin
2
t
I'(x) =
- (x,t) dt=
2
•
2 2
dt.
O ax
o (COS t +X Sin t)
Ainsi:
n
J(x) = -I'(x) =
~·
2x-vx
Réponse: Vx E JR+,
n
J(x) =
~·
2x-vx
a) Notons F : ] 1 ; +oo[ x [0 ; l] x R
ln (1 + xt)
(x ,t) r----+
2
1 + t
Pour tout x E ] - 1 ; +oo[, F (x,-) est intégrable sur[O ; 1] car
F (x, ·) est continue sur ce segment.
aF
1
L'application -
: (x,t) r----+
2
est continue
ax
(1 + t )(1 +xt)
par rapport à x , continue par morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HDL sur] - 1 ; +oo[ x [O ; l] car, pour tout
a E ] - 1 ; +oo[ :
V (x ,t) E [a ; +oo[x [O ; l],
l
aF
1
1
1
1
-(x,t) =
~ - - ~ - -
ax
(1 + t 2 )(1 + xt)
1 + at
1 +a
1
et l'application constante - - est intégrable sur le segment
l+a
[O; 1] (cf. aussi la Remarque 2) du§ 3.5.l p. 191).
D ' après le théorème de dérivation sous le signe 1
1
, l'application f est de classe C
1 sur] - l ; +oo[ et :
\lx E]-1 ; +oo[,
fo
l aF
fol
t
f'(x) =
- (x,t)dt=
dt
0 ax
0 (1 + t 2 )(1 +xt)
1
f
1
(t+x
X
)
= 1 + x2 Jo 1 + r2 - 1 + xt dt
1 [ 1
] 1
= - - 2 - ln (1 + r 2 ) + xArctant - ln (1 + xt)
1 +x 2
o
= - - - ln2+ - -ln(l +x) .
1 (1 lCX
)
l + x2 2
4
On déduit:
V x E] - 1; +oo[, f (x) = f (0) +fox J' (t) dt
ln 2
lC
2
fo x ln (1 + t)
= -Arctanx+-ln(l +x )2
dt.
2
8
0 l+t
b) Prendre x = 1 dans la relation du a).
e - x2(1 +12)
Notons F : lR x [O; 1] -----+ lR, (x ,t) r----+ F (x, t) =
2
.
l + t
• Pour tout x E JR, F (x, ·) est intégrable sur [O; 1] car F (x,-)
est continue sur le segment [O; l].
aF
2
2
.
.
• -
: (x,t) r----+ e -x <
1
+
1 l ex1stesur lR x [O; 1] , estcontmue
ax
par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t.
aF
• - vérifie HD sur IR x [O; l] car :
ax
1
aF
1
2
2
V(x,t) E lR x [O; l], ih(x,t) = e - x ( l +i l ~ 1
et l'application constante 1 est intégrable sur le segment [O; 1].
En appliquant le théorème de dérivation sous le signe 1' , on
déduit que f est de classe C 1 sur lR et :
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0
c
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(V)
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Ol
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0
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• 2 {O Î
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-
2 { +oo dy
Je: cos2t + xsin2t y=tanr Jo 1 + xy 2
2 [
J+oo n
= Jx Arctan(y'xy) 0
= Jx'
Réponse : V X E JR+'
n
l(x) = Jx'
b) Notons F :]O; +oo[ x [O; rr]-----+ JR .
( X t) !------+
I
'
cos 2 r+x sin
2 1
Pour tout x E ]0 ; +oo[, F (x, ·) est intégrable sur [0 ; rr], car
F (x,-) est continue sur ce segment.
aF
-sin
2 t
L'application -
: (x, t) r----+
2
. 2 2
, est définie
ax
(COS t +X Sin t)
sur ]0 ; +oo[ x [0 ; rr], continue par rapport à x, continue par
morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HDL car tout
segment inclus dans ]O ; +oo[ peut être inclus dans un intervalle [a ; +oo[, a E ]O ; 1] et, pour tout a E ]O ; l] :
V(x,t) E [a ;+oo[x[O;rr],
l
aF
1
sin
2 t
- (x,t) =
.
ax
(cos 2 t+xsm 2 t) 2
sin 2 t
1
l
------~ ~
2 ~ - ,
(l-(l-x)sin 2 t)2 (1-(1-a)) a
2
1
et l'application constante 2 est intégrable sur le segment [O ; n]
a
(cf. aussi la Remarque 2) du § 3.5.1 p. 191) donc, d 'après le
théorème de dérivation sous le signe 1:n: , l'application lest
de classe C
1 sur ]0; +oo[ et:
V x E]O; +oo[,
1 " aF 1" -sin
2
t
I'(x) =
- (x,t) dt=
2
•
2 2
dt.
O ax
o (COS t +X Sin t)
Ainsi:
n
J(x) = -I'(x) =
~·
2x-vx
Réponse: Vx E JR+,
n
J(x) =
~·
2x-vx
a) Notons F : ] 1 ; +oo[ x [0 ; l] x R
ln (1 + xt)
(x ,t) r----+
2
1 + t
Pour tout x E ] - 1 ; +oo[, F (x,-) est intégrable sur[O ; 1] car
F (x, ·) est continue sur ce segment.
aF
1
L'application -
: (x,t) r----+
2
est continue
ax
(1 + t )(1 +xt)
par rapport à x , continue par morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HDL sur] - 1 ; +oo[ x [O ; l] car, pour tout
a E ] - 1 ; +oo[ :
V (x ,t) E [a ; +oo[x [O ; l],
l
aF
1
1
1
1
-(x,t) =
~ - - ~ - -
ax
(1 + t 2 )(1 + xt)
1 + at
1 +a
1
et l'application constante - - est intégrable sur le segment
l+a
[O; 1] (cf. aussi la Remarque 2) du§ 3.5.l p. 191).
D ' après le théorème de dérivation sous le signe 1
1
, l'application f est de classe C
1 sur] - l ; +oo[ et :
\lx E]-1 ; +oo[,
fo
l aF
fol
t
f'(x) =
- (x,t)dt=
dt
0 ax
0 (1 + t 2 )(1 +xt)
1
f
1
(t+x
X
)
= 1 + x2 Jo 1 + r2 - 1 + xt dt
1 [ 1
] 1
= - - 2 - ln (1 + r 2 ) + xArctant - ln (1 + xt)
1 +x 2
o
= - - - ln2+ - -ln(l +x) .
1 (1 lCX
)
l + x2 2
4
On déduit:
V x E] - 1; +oo[, f (x) = f (0) +fox J' (t) dt
ln 2
lC
2
fo x ln (1 + t)
= -Arctanx+-ln(l +x )2
dt.
2
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0 l+t
b) Prendre x = 1 dans la relation du a).
e - x2(1 +12)
Notons F : lR x [O; 1] -----+ lR, (x ,t) r----+ F (x, t) =
2
.
l + t
• Pour tout x E JR, F (x, ·) est intégrable sur [O; 1] car F (x,-)
est continue sur le segment [O; l].
aF
2
2
.
.
• -
: (x,t) r----+ e -x <
1
+
1 l ex1stesur lR x [O; 1] , estcontmue
ax
par rapport à x, continue par morceaux (car continue) par rapport à t.
aF
• - vérifie HD sur IR x [O; l] car :
ax
1
aF
1
2
2
V(x,t) E lR x [O; l], ih(x,t) = e - x ( l +i l ~ 1
et l'application constante 1 est intégrable sur le segment [O; 1].
En appliquant le théorème de dérivation sous le signe 1' , on
déduit que f est de classe C 1 sur lR et :
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