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0
c
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0
(V)
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0
N
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.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
Soit x E B' ( O; ~) ; montrons l

Supposons X
On a: x 0 - - E Ker(cp), car:
et
cp (xo - ~) = cp(x0 ) - ~ cp(x) = 1 -1 =O.
D'où:
r = d(x0 ,K er( = ll xo -(xo - ~) I l = ~llx l l = l;~;l)I .
Il s'ensuit: lcp(x) I ::::; ~ . qui est aussi vraie pour x =O.
r
Ainsi , commex E B' (o; ~) , onobtient l ce qui prouve la continuité de cp .
b) Remarquer que Ker (cp) , est un sev de E contenant l'hyper- -
- -
plan Ker(cp), donc Ker (cp) = Ker(

a) a) Ker(f) = f - 1 ({0}) est l'image réciproque du fermé {O}
de F par l'application continue f.
f3) •JI se peut que Im(f) soit fermé ; exemple :
f:E---+F.
X r---'? 0
• Il se peut que Im(f) ne soit pas fermé, exemple :
A= (C([O; 1],IR) ,1 1-l lJ),
E = {f E A ; f(O) = 0},
qui est un hyperp lan non fermé de A (montrer que
cp: A ---+ IR n'est pas conti nue sur A), F =A ,
f r----+ f (0)
f: E ---+ F.
u r----+ u
b) • Ker(p) est fermé d'après a) et).
• Im ( p ) = Ker(ldE - p) est fermé d'après a) et) appliqué à
ld E - p.
(i) ====> (ii) :
On suppose qu ' il ex is te a E E tel que : llal l = l et
ll l'Pl ll = lcp(a) I.
Puisque H est un hyperplan et que a €f. H (si a E H ,
alors lll'Plll = lcp(a) I = 0, cp = 0, contradiction), il existe
(À ,h) E IK x H tel que: x = Àa + h.
On a: 'Vk EH,
{
lcp (x - k) I ~ lll lcp (x - k) I = lcp (x) I = IÀI lcp(a) I = IÀI lll d'où: 'Vk E H , llx -kll ~ IÀI.
Mais llx - hl l = llÀa ll = IÀI lla ll = IÀI.
Ainsi : 'Vk E H , llx - kll ~ llx - hll,
c'est-à-dire: d(x,H) ~ llx - hll,
et finalement: d(x , H ) = llx - h ll, puisque h E H.
(ii) ====> (iii) : évident, car E - H =fa 0 .
(iii) ====> (i) :
On suppose qu'il existe x E E - H et h E H tels que :
d(x, H) = llx - h ll . Notons b = x - h.
cp(b)
Soit u E E - H. On a: --u - x E H ,
cp(u)
(
cp(b)
)
car cp -
u - x = cp(b) - cp(x) = -cp(h) = 0 ,
cp(u)
d'où:
ll h ll = llx - h ll = d(x ,H ) ~ 11 cp(b) u ll = lcp(b)l ll ull .
cp(u)
lcp(u) I
Ceci montre: 'Vu E E ,
~ lcp(b) I
lcp(u) I ~ llbll llu ll,
lcp(b) I
.
l'P(b) I
et donc ll l'P lll ~ llbll' puis ll l'Pl ll = llbll.
b
En notant a = ïTbTï, on conclut :
lla ll = l et lll Zp = F - 1 ({0}),oùF: .CC(E)---+ .CC(E) , quiestcontinue.
f r----+ p (f)
• Remarquer d'abord : V f E E , f cp E E.
•La linéarité de T'fl est immédiate.
• V f E E , ll T

ce qui montre la continuité de T'fl, et lll T'fJlll ~ ll • ll T

Réponse: lll T'fJll l = ll

• Remarquer d'abord que, pour toute f de E, l'application
[O; l] ---+ IR est continue, donc appartient à E.
X r---'? Io X j
• La linéarité de T est immédiate.
• V f E E, 'Vx E [O; l], l(T(f)(x) I
= lfox f i ~ fox lf l ~ xl lflloo:::;; ll f lloo,
d'où: V f E E , llT (f)lloo ~ llf lloo ·
Ceci montre la continuité de T , et: ll lT lll ~ 1.
• llT(l) lloo = Sup 1 r 11=1 et lll lloo = 1.
xe(O; 1) Jo
Réponse: lllT lll = 1.
a) Les propriétés N(ÀP) = l)... IN(P),
N(P + Q) :::;; N(P) + N(Q),
N(P) = 0 <===? P = 0 sont immédiates.