"'O
0
c
:J
0
(V)
..--t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
>0..
0
u
b) N (Xk) = l et N(T(Xk)) = N(kxk-l) = k,
, ,
N(T(Xk))
d ou
N(Xk) -;;-;;;; +oo.
Réponse : T n'est pas continue.
•La linéarité de • On a, pour toute l E E :
l
l - ! 1
1
2 l i ~ l 1
112
l i + 1 { 2 l i
~ f'
12
11 1 + [' Il l = [' Ill= 11 1 11 1.
Jo
1 112
Jo
donc
par exemple :
I
' ' l : [O ; l] -----+ IR!, x r---+ l(x) = 1 - 2x.
On a alors :
l
1
Il l = 11 1 11 1,
d ne l
0
11 1 11 1
Réponse: lll
xe(- 1:1]
car P est continu sur le segment [O; l] , donc bornée.
(i) On a, pour tout À E IR! et tout P E IR![X] :
N(>..P) = Sup IC>..P) (x) I = l>.. I Sup IP(x) I = l>.. IN( P) .
xef- 1:11
xef- 1:1]
(ii) Soit P E IR![X] tel que N( P ) =O. O n a alors:
'
donc P =O.
(iii) On a, pour tous P , Q E IR![X] :
N( P + Q) = Sup ICP + Q)(x) I
XE[- 1;1]
~ Sup (IP (x) l + IQ (x) I)
xe[- 1: I ]
~ Sup IP(x) I + Sup IQ(x) I = N( P ) + N(Q).
xe[- 1:1]
xe[- 1:1]
On conclut : N est une norme sur IR![X].
b) 1) Soit a E R On a, pour tout À E IR! et tous P , Q E IR![X] :
l a(À P + Q) = (À P + Q)(a)
= >.. P (a) + Q(a) = Àfa( P ) + la(Q) ,
donc l a est linéaire .
2) Soit a E R
1er cas: a E [-1 ; 1].
On a alors:
' xe[- 1:1]
Ceci montre que l a, qui est déjà linéaire, est linéaire continue.
2è cas: a f/:. [ - 1; 1]
On a:
[
lf;, (X") I = la" I = la l" -----+ +oo
1100
N(X") = Sup lx" I = 1,
xE(- 1:1]
d'où: ll a(X") I -----+ +oo. Cecimontrequel 0 ,quiestdéjàliN(X11 ) 1100
néaire, n'est pas continue.
Réponse:UneCNSpourquel 0 soitcontinueest: a E [-1; 1].
3) Supposons la continue, c'est-à-dire a E [- 1; l].
D'une part, comme on l'a vu plus haut :
' do nc lll l all l ~ 1.
D'autre part, en notant l la fonction constante égale à l , on a
,
lf;,( l ) I
11 0 (1)1 = 1 et N(l) = 1, donc N(l) = 1.
Réponse: ll ll alll = 1.
• GL,,(IK) = dec 1 (JK - {0});
JK - {0} est un ouvert de
M,, (IK) et det est continue, donc GL,, (IK) est ouvert dans
M,,(IK).
• Soient A E M ,,(IK) e t & > O. L'application polynomiale
XA : t r---+ det (A - t in) n'admet qu'un nombre fini ( ~ n) de
zéros dans !K.
Tl ex iste do nc t E ]O; é[ te l qu e XA (t) =f:. 0 , c'est-à-dire
A - tin E GLn(IK).
Ceci prouve :
' 0, 38 E GL,,(IK) , ll A - B ll < é ,
où B =A - tin et 11 -1 1 est, par exemple, 11 -l loo·
F inalement : GLn (JK) est dense dans Mn (JK).
• SL 11 (JK) =deC 1 ({1 }) est fe rm é car {l} es t fermé e t
det : M ,, (IK) -----+ IK est continue.
• Soient A E SL,, (JK) et & E IR!~ .
L'application JK -----+ IK
est polynomiale de degré n ,
t r---+ det (A + tin)
donc prend un nombre fini de fois la valeur 1. Tl existe donc
a > 0 tel que :
{
O < a < &
' Ceci mo ntre : B (A; a) r/:. SL 11 (JK),
et finalement (SL 11 (IK))
0 = 0 .
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Réponse : T n'est pas continue.
•La linéarité de • On a, pour toute l E E :
l
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1
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l i + 1 { 2 l i
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donc
par exemple :
I
' ' l : [O ; l] -----+ IR!, x r---+ l(x) = 1 - 2x.
On a alors :
l
Il l = 11 1 11 1,
d ne l
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Réponse: lll
xe(- 1:1]
car P est continu sur le segment [O; l] , donc bornée.
(i) On a, pour tout À E IR! et tout P E IR![X] :
N(>..P) = Sup IC>..P) (x) I = l>.. I Sup IP(x) I = l>.. IN( P) .
xef- 1:11
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(ii) Soit P E IR![X] tel que N( P ) =O. O n a alors:
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donc P =O.
(iii) On a, pour tous P , Q E IR![X] :
N( P + Q) = Sup ICP + Q)(x) I
XE[- 1;1]
~ Sup (IP (x) l + IQ (x) I)
xe[- 1: I ]
~ Sup IP(x) I + Sup IQ(x) I = N( P ) + N(Q).
xe[- 1:1]
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On conclut : N est une norme sur IR![X].
b) 1) Soit a E R On a, pour tout À E IR! et tous P , Q E IR![X] :
l a(À P + Q) = (À P + Q)(a)
= >.. P (a) + Q(a) = Àfa( P ) + la(Q) ,
donc l a est linéaire .
2) Soit a E R
1er cas: a E [-1 ; 1].
On a alors:
' xe[- 1:1]
Ceci montre que l a, qui est déjà linéaire, est linéaire continue.
2è cas: a f/:. [ - 1; 1]
On a:
[
lf;, (X") I = la" I = la l" -----+ +oo
1100
N(X") = Sup lx" I = 1,
xE(- 1:1]
d'où: ll a(X") I -----+ +oo. Cecimontrequel 0 ,quiestdéjàliN(X11 ) 1100
néaire, n'est pas continue.
Réponse:UneCNSpourquel 0 soitcontinueest: a E [-1; 1].
3) Supposons la continue, c'est-à-dire a E [- 1; l].
D'une part, comme on l'a vu plus haut :
' do nc lll l all l ~ 1.
D'autre part, en notant l la fonction constante égale à l , on a
,
lf;,( l ) I
11 0 (1)1 = 1 et N(l) = 1, donc N(l) = 1.
Réponse: ll ll alll = 1.
• GL,,(IK) = dec 1 (JK - {0});
JK - {0} est un ouvert de
M,, (IK) et det est continue, donc GL,, (IK) est ouvert dans
M,,(IK).
• Soient A E M ,,(IK) e t & > O. L'application polynomiale
XA : t r---+ det (A - t in) n'admet qu'un nombre fini ( ~ n) de
zéros dans !K.
Tl ex iste do nc t E ]O; é[ te l qu e XA (t) =f:. 0 , c'est-à-dire
A - tin E GLn(IK).
Ceci prouve :
' 0, 38 E GL,,(IK) , ll A - B ll < é ,
où B =A - tin et 11 -1 1 est, par exemple, 11 -l loo·
F inalement : GLn (JK) est dense dans Mn (JK).
• SL 11 (JK) =deC 1 ({1 }) est fe rm é car {l} es t fermé e t
det : M ,, (IK) -----+ IK est continue.
• Soient A E SL,, (JK) et & E IR!~ .
L'application JK -----+ IK
est polynomiale de degré n ,
t r---+ det (A + tin)
donc prend un nombre fini de fois la valeur 1. Tl existe donc
a > 0 tel que :
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' Ceci mo ntre : B (A; a) r/:. SL 11 (JK),
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