"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Donc, pour tout x de IR, A_ -;:- 1 ((0)) est fermé ; enfin
E_ = n A_;- 1 ((0}) et E+ = n A_;- 1 ((0)) sontfermés.
xeR_
xER+
5) C est fermé car tout sev de dimension 1 est fermé.
a)Soientrl unouvertdeE ett E cp (Q);ilexistex E Etel que
t = d(a ,x) .
Considérons la demi-droite [a; x -----+ [ définie par :
[a ; x -----+ [ = {(l - À)a + ÀX; À E lR+ l·
Puisque Q est ouvert, il exister E JR' f- tel que B(x ; r) C Q et
r < d(a, x) . On a:
cp(Q) :::> cp(B(x; r)) :::> cp( [a ; x -----+ [ n B(x ; r))
= ]d(a ,x) - r ; d(a ,x) + r[ n IR+ .
[a ;x~ [
a
Ainsi cp(Q) est voisinage de chacun de ses points dans IR+ , donc
est ouvert.
b) Supposons f : X -----+ F ouverte et soit À E JK*.
Soit Q un ouvert de X.
Puisque f est ouverte, f (Q) est un ouvert de F.
Soit y E (Àf)(Q) = Àf(Q). Ilexiste x E Q tel que y = f(x).
Puisquef(Q) estouverteetquef(x) E f(Q), il exister> 0
tel que: B(f(x ); r) C f(Q). Alors:
B(y ; IÀl r) = B (Àf(x); IÀl r) = ÀB(f(x); r) C Àf(D).
Ceci montre que Àf (Q) est voisinage de y, pour tout
y E Àf (D), donc Àf (D) est ouvert.
Finalement, Àf est ouverte.
c) Soit Q un ouvert de Z. Puisque g o f est continue,
J- 1 (g- I (Q)) =(g o f) - I (Q) est un ouvert de X.
Comme f est surjective et ouverte,
g - 1 (Q) = f(f - 1 (g - 1 (Q))) est un ouvert de Y.
Ceci montre que g est continue.
a) • Les propriétés
llÀf ll = IÀ I ll fll,
Il ! + gll ~
11!11 + llgll, 11!11 =0 {::::::} f = 0 sont immédiates .
• En considérant, pour tout n de N* ,
montrer
J,, : [O; 1] -----+ lR
1
~ -nx
X f---+
0
1
SÎ 0 (;X(; -
n 2
. 1
SI 2
__!!f_!l_-----+ +oo, d'où 11 .1111 1. lloo·
llJ,.l loo noo
b) • N est une norme sur E1 (cf. exercice 1.1.19 p. 25).
• 1) Pour tout (x ,y) de [0; 1] 2 tel que x -:j:. y, d 'après le théorème des accroissements finis, il existe c E]x; y[ (ou ]y ; x[)
tel que f(x) - f(y) = f'(c), d 'où
x-y
Sup 1 f(x) - f(y) 1 ~ Sup IJ'(t)I.
(x .yJEfO: J]2
X - Y
re [O: l]
x # y
2) Pour tout t de [O; 1] :
IJ'(t)I = . !~ 1 f(u~ =;et) 1 ~ Sup 1 f(x~ = f(y) 1,
u #t
(x,y)e [O: 1]2
Y
x:Fy
d'où :
Sup lf'(t)I ~ Sup 1 f(x~ = f(y) I ·
IE[Ü: 1]
(x,yJe[O, IJ2
Y
X#-Y
Finalement: V JE Ei , 11!11 = N(f).
Considérons
{f E B(X, F) ; w(f,a) ~ s} = cp- 1 ([0; s]) ,
et [0; s ] est un fermé de IR. Tl suffit donc de montrer que continue ; nous allons montrer que Soient VE Vx(a ),f,g E B(X, F). On a, pour tout (x,y) de
v2 :
llf(x) - f(y)ll
~ llf(x) - g(x)ll + llg(x) - g(y)ll + llg(y) - f(y) ll
~ 2 11! - glloo + diam (g(V)) ,
d 'où, en passant à la borne supérieure lorsque (x ,y) décrit v 2 :
diam (j(V)) ~ 21 If - glloo + diam (g(V)).
En passant aux bornes inférieures lorsque V décrit Vx (a), on
déduit:
w(f,a) ~ 211! - glloo + w(g ,a).
L es rôles symétriques de f,g permettent de conclure:
lw(f,a) - w(g ,a)I ~ 211! - glloo ·
Ainsi, ll lfi 0 h 0 ... 0 h,.111
~ lll fJ 111ll lh 0 hlll. · · ll lhn- 2 0 hn - I 111 lllh,. lll
et 111!1 o h o ... o h,.111
~ ll lJ1 0 hlll lllh 0 J4lll. · · ll lhn - 1 0 h,.111.
Conclure en multipliant.
a) 1) Supposons fermé car {0} est fermé.
2) Supposons Ker(cp) fermé et
1 563
0
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E_ = n A_;- 1 ((0}) et E+ = n A_;- 1 ((0)) sontfermés.
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5) C est fermé car tout sev de dimension 1 est fermé.
a)Soientrl unouvertdeE ett E cp (Q);ilexistex E Etel que
t = d(a ,x) .
Considérons la demi-droite [a; x -----+ [ définie par :
[a ; x -----+ [ = {(l - À)a + ÀX; À E lR+ l·
Puisque Q est ouvert, il exister E JR' f- tel que B(x ; r) C Q et
r < d(a, x) . On a:
cp(Q) :::> cp(B(x; r)) :::> cp( [a ; x -----+ [ n B(x ; r))
= ]d(a ,x) - r ; d(a ,x) + r[ n IR+ .
[a ;x~ [
a
Ainsi cp(Q) est voisinage de chacun de ses points dans IR+ , donc
est ouvert.
b) Supposons f : X -----+ F ouverte et soit À E JK*.
Soit Q un ouvert de X.
Puisque f est ouverte, f (Q) est un ouvert de F.
Soit y E (Àf)(Q) = Àf(Q). Ilexiste x E Q tel que y = f(x).
Puisquef(Q) estouverteetquef(x) E f(Q), il exister> 0
tel que: B(f(x ); r) C f(Q). Alors:
B(y ; IÀl r) = B (Àf(x); IÀl r) = ÀB(f(x); r) C Àf(D).
Ceci montre que Àf (Q) est voisinage de y, pour tout
y E Àf (D), donc Àf (D) est ouvert.
Finalement, Àf est ouverte.
c) Soit Q un ouvert de Z. Puisque g o f est continue,
J- 1 (g- I (Q)) =(g o f) - I (Q) est un ouvert de X.
Comme f est surjective et ouverte,
g - 1 (Q) = f(f - 1 (g - 1 (Q))) est un ouvert de Y.
Ceci montre que g est continue.
a) • Les propriétés
llÀf ll = IÀ I ll fll,
Il ! + gll ~
11!11 + llgll, 11!11 =0 {::::::} f = 0 sont immédiates .
• En considérant, pour tout n de N* ,
montrer
J,, : [O; 1] -----+ lR
1
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0
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n 2
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__!!f_!l_-----+ +oo, d'où 11 .1111 1. lloo·
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b) • N est une norme sur E1 (cf. exercice 1.1.19 p. 25).
• 1) Pour tout (x ,y) de [0; 1] 2 tel que x -:j:. y, d 'après le théorème des accroissements finis, il existe c E]x; y[ (ou ]y ; x[)
tel que f(x) - f(y) = f'(c), d 'où
x-y
Sup 1 f(x) - f(y) 1 ~ Sup IJ'(t)I.
(x .yJEfO: J]2
X - Y
re [O: l]
x # y
2) Pour tout t de [O; 1] :
IJ'(t)I = . !~ 1 f(u~ =;et) 1 ~ Sup 1 f(x~ = f(y) 1,
u #t
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Y
x:Fy
d'où :
Sup lf'(t)I ~ Sup 1 f(x~ = f(y) I ·
IE[Ü: 1]
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Y
X#-Y
Finalement: V JE Ei , 11!11 = N(f).
Considérons
{f E B(X, F) ; w(f,a) ~ s} = cp- 1 ([0; s]) ,
et [0; s ] est un fermé de IR. Tl suffit donc de montrer que continue ; nous allons montrer que Soient VE Vx(a ),f,g E B(X, F). On a, pour tout (x,y) de
v2 :
llf(x) - f(y)ll
~ llf(x) - g(x)ll + llg(x) - g(y)ll + llg(y) - f(y) ll
~ 2 11! - glloo + diam (g(V)) ,
d 'où, en passant à la borne supérieure lorsque (x ,y) décrit v 2 :
diam (j(V)) ~ 21 If - glloo + diam (g(V)).
En passant aux bornes inférieures lorsque V décrit Vx (a), on
déduit:
w(f,a) ~ 211! - glloo + w(g ,a).
L es rôles symétriques de f,g permettent de conclure:
lw(f,a) - w(g ,a)I ~ 211! - glloo ·
Ainsi, ll lfi 0 h 0 ... 0 h,.111
~ lll fJ 111ll lh 0 hlll. · · ll lhn- 2 0 hn - I 111 lllh,. lll
et 111!1 o h o ... o h,.111
~ ll lJ1 0 hlll lllh 0 J4lll. · · ll lhn - 1 0 h,.111.
Conclure en multipliant.
a) 1) Supposons fermé car {0} est fermé.
2) Supposons Ker(cp) fermé et
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