"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
1
En effet, si U n ~ N(N _ l ), alors:
Un
1
1
1
1
Un+I = -;; + n2 ~ ~ N(N - 1) + n2
1
1
1
1
~ N N(N - 1) + N2 = N(N - 1)
Puis, pour tout n ~ N :
Un
1
0 ~ Un + I = -+- n n 2
1
1
1
~ ~ N(N - 1) + n2 --;;-;: O,
donc u ,, -----+ O.
11 00
b) On a donc, à partir d'un certain rang, u 11 ~ 1, puis :
Un
J
1
1
2
U11+ I = - + 2 ~ - + 2 ~ - ,
n
n
n
n
n
puis:
u,,
1
2
1
3
0 ~ U11+I = - + 2 ~ 2 + 2 = 2'
n
n
n
n
n
Il e n résulte u,, = 0 ( : 2 ) puis :
Un
1
1
Un+ I = - + 2 ~ 2'
n
n 1100 n
et enfin :
Un ,...,_,
,,....,_, - .
11 00 (n - J)2 1100 n2
c) On a :
Un+I = Un + 2_ = ~ (2- + 0(2-)) + 2_
n
~
n ~
n 2
~
donc:
1
1
(
1
)
Un = (n - 1)2 + (n - 1)3 + o (n - 1)3
= 2_ (1 -~)2
+ 2_ + 0(2_)
n 2
n
n 3
n 3
= 2_ (1 +~) +2_ +0(2-).
n 2
n
n 3
n 3
1
3
( l )
Réponse : Un = 2 + 3 + o 3 ·
n
n
n
a) • L'application dA :
E-----+ IR
est continue,
x r----+ d (x,A)
Va (A) = d-;_
1
( ] -
oo; a [) et ] - oo; a [ est un ouvert de IR,
donc Va ( A ) est un ouvert de E.
•A = {x E E; d(x,A) = O} C Va(A)
• n Va(A) = {x E E; \fa > 0, d(x,A) a>O
= {x E E d (x,A) = 0} =A.
b)
- 1
y
2
On peut supposer A # 0 et B # 0 .
En notant f : E -----+ IR
, montrer que
x f----7 d(x ,A ) - d (x, B)
U = {x E E; f (x) < 0}, V = {x E E; f (x) > 0}
conviennent.
• Si f et g sont continues, alors la composée

est continue.
• Si

f: x r----+ (x, b) f----7 Pour tout ouvert Q de F :
.f- I (Q) = .f- I (Q) n LJ U; = u u - I (Q) n U;)
iE/
iE /
= LJ (.flu;)- 1 (Q),
i E /
qui est une réunion d'ouverts de E.
1) Il est clair que E_, E+, C sont des sev de E.
2) Soit (f,g, h ) E E_ x E+ x C tel que.f + g + h = 0.
En particulier .f(O) + g (O) + h(O) = 0, d'où h(O) = 0 ,
et donc h =O .
Puis: \;/ x E IR_, 0 = f(x) + g(x) = g(x),
d'où g = 0, .f = O.
3) Pourtout

h = rp(O) l,
{
rp(x) - q;(O)
.f(x) =
0
Si X :ç; 0
Si X> 0
g(x) = {
0
rp(x) - rp(O)
si x:ç;O
si X> 0
et vérifier: (f,g, h) E E_ x E+ x C et f + g + h = 4) Notons, pour tout x de IR, Ax : E -----+ IR .
f r----+ .f (x)
L'application A x est continue car :
\f(f,g) E E 2 ,
IAxC.f) - Ax(g) I = l.f(x) - g(x)I :ç; 11.f - glloo·