Caractérisation séquentielle de la
continuité en un point.
La continuité d'une fonction à valeurs
dans un produit cartésien d'un nombre
fini de facteurs se ramène à celles des
fonctions composantes.
1 \
Il
\Jj Ici, n Fk est muni de la norme V
k= I
"'O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
~
· - ='
>- 0.
0
u
définie par
v (y1 , ... , y,,)= Max Nk(yk) ,
l ~k ~n
où Nk est la norme sur h (cf.1.1.1.3) b)
p.8).
Si une fonction est continue, alors toute
restriction de cette fonction est continue.
Les implications (ii) ~ (i) et
(iii) ~ (i) ne sont pas au programme.
1.2 · Limites, continuité
Soient X E s;p (E) , f : X -----+ F , a E X. Pour que f soit continue en a, il faut et il
l suffit quefadmettef(a) pour limite en a.
Si f est continue en a, alors f est bornée au voisinage de a.
Utilisation de suites pour traduire la continuité en un point
Pour quef: X -----+ F soit continue en a (a EX) , il faut et il suffit que ~ ­
pour toute suite (un)n eN dans X telle que Un-----+ a , on a f (un)-----+ f (a).
noo
noo
Cas des fonctions à valeurs dans un produit d'evn
n
Soient XE s;p(E), a E X,n EN*, F1, ... ,Fn des IK.-evn, f: X-----+ n Fk
k=I
chaque k de {l,. .. ,n}, notonsfk = prk o f où prk est la kème projection.
On a alors : (f est continue en a) <===::} (V k E { 1,. .. , n}, fk est continue en a).
Continuité de la restriction d'une application continue
--pour
J
Soient XE s;p(E),f: X-----+ F, AC X, a E A. Sif est continue en a, alorsflA est
l continue en a.
2) Continuité sur un ensemble
Soient X E s;p ( E) ,f : X -----+ F. On dit que f est continue (ou : continue sur X) si
et seulement si f est continue en tout point de X.
On note C(X, F) (ou c 0 cx, F)) l'ensemble des applications continues de X dans F.
Exemple : Les applications E x E ----+ E et IK x E ----+ E sont continues.
(x ,y) t-----7 x +y
(À,x) t----+ Àx
Il est clair que, si f : X ----+ F est continue sur X , alors, pour toute partie A de X, f 1 A est
continue sur A.
Soient X E s;p(E),f: X-----+ F. Les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
(i)
f est continue
(ii) L'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de X
(iii) L'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de X.
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