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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
On peut essayer de montrer qu'une
partie est ouverte (resp. fermée) en la
présentant comme image réciproque
d'une partie ouverte (resp. fermée) par
une application continue.
Exercices 1.2.1, 1.2.2, 1.2.4 à 1.2.6.
Propriété très utile en pratique.
Preuve
(i) ===? (ii)
Supposons l continue, et soit Q un ouvert de F. Montrons que l1 (Q) est un ouvert de X en montrant
que l1 (Q ) est un voisinage de chacun de ses points dans X (cf. 1.1.5 1) Déf. p. 15).
Soit a E l -
1 (!1) . Puisquel(a) E Q etque Q est un ouvert de F , ona: Q E VF(f (a)).
Comme lest continue en a, il existe V E V E(a) tel que : Vx E X n V , l(x) E Q , c'est-à-dire tel
que: xn V c l1 (!1 ).
Ceci montre que l1 (Q) est un voisinage de a dans X (cf. l. l.4 Prop. 1 (ii) p. 15).
(ii) ===? (i)
Supposons que l'image réciproque par l de tout ouvert de F soit un ouvert de X.
Soient a E X et W E VF(l (a)). li existe un ouvert Q de F tel quel (a ) E Q et Q C W.
Par hypothèse, l -
1 (Q) est un ouvert de X, et a E l - 1 (Q) ; donc l -
1 (Q) E Vx (a). Il existe donc
VE V E(a) tel quel1 (!1) =X n V. On a alors: Vx EX n V, l(x) E Q C W.
Ceci montre que l est continue en a. Puisque lest continue en tout a de X,f est continue.
(ii) {:=} (iii)
Immédiat en passant aux complémentaires et en utilisant 1- I (CF (Q)) = c X u- 1 (Q)) pour toute partie Q de F.
Exemple:
{(x,y) E JE.
2 ; xy > l} est un ouvert de JE. 2 car c'est l'image réciproque de l'ouvert ]O; +oo[
de JE. par l'application continue
JE.
2 ----+ JE.
(x,y) ~ xy -1
Remarque:
L'image directe d'une partie ouverte (resp. fermée) par une application continue peut ne pas
être ouverte (resp. fermée). Exemples:
1) l :JE.----+ JE. est continue, Q =JE. est ouverte,j(Q ) = {0} n'est pas ouverte
x~ o
2) l : lR ----+ lR est continue, A = lR est fermée,f (A) = IR~ n'est pas fermée.
x~ex
3) Opérations sur les applications continues
Co'!!Position
SoientE , F ,G, troislK-evn, X E 'f}(E),Y E 'f}(F),f : X-----* F ,g: Y-----* G telles
que/(X) c Y; on note g o f :X-----"* G .
x~g(f(x))
1) Soit a E X .
S1
.
alors g o f est continue en a .
. { f est continue en a 1
.
g est continue en f (a) ,
2) Si f est continue (sur X) et si g est continue (sur Y), alors go f est continue
(sur X) .
Preuve
1) Soit W E Vc((g o f)(a)). Puisque g est continue en l (a), il existe V E VF(l (a))
tel que : g(Y n V) C W. Ensuite, puisque l est continue en a, il existe V E V E(a) tel que
l(X n V) c V .
On a alors : (g o f)(X n V) c g(Y n V ) c W,
et donc g o lest continue en a.
2) Appliquer 1) en tout point de X.
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