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42
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.2.2
MiiillliiilllilillilWIML' Propriétés algébriques des fonctions admettant des limites
Soient X E !fJ (E) , a E X , f,g : X -----+ F ,À: X -----+ JK, / , l
1 E F , a E lK .
On a:
l) f (x) -----+ l ===> 11/(x )l lF-----+ 11111
x--+a
x--+a
2)f(x)-----+ 0 ===> 11 /(x)ll F-----+ 0
x--+ a
x--+a
f -----+ l l
3)
a l' ==> f+g----+ l+l'
g-----+
a
a
4) À 7 °
} ===> Àg -----+ 0
g bornée au voisinage de a
a
À bornée au voisinage de a }
5) g -----+ 0
===> Àg 7 0
a
À -----+ a l
6)
a L' ==>f..g----+ al'.
g -----+
a
a
Preuve
On peut se ramener aux propriétés algébriques des suites convergentes (1.1.9 2) Prop. 2 p. 32) grâce à la
Prop. 3 de 1.2.1 p. 40. On peut aussi donner un preuve « directe »; par exemple, pour la propriété 4) :
Par hypothèse, il existe V E VE(a ) et M E IR+ tels que: V x E X n V , llg(x)ll F ~ M.
Soit E > 0 ; il existe Vi E VE(a ) tel que: \lx E X n Vi ,
E
IÀ(x)I ~ - - .
M+ l
On a alors, en notant V 2 = V n Vi E VE(a) :
Vx E X n Vi,
ce qui prouve : Àg -----+ O.
a
Continuité
E
ll(Àg)(x) ll F = IÀI llg(x) llF ~ - - M ~ e,
M+ l
•
Soient (E,11-llE),(F,11 -ll F) deux IK-evn, dE (resp. dF) la distance associée à 11- llE
(resp. 11-llF).
1) Continuité en un point
Soient X E !fJ (E) , f : X -----+ F, a E X. On dit que f est continue en a si et seulement si:
'v'W E VF(f(a )) , 3V E VE (a) , 'v'x EX n V , f (x ) E W ,
ce qui revient à :
'v't: > 0, 317 > 0, 'v'x E X , (dE(x ,a) ~ 1J ===> dF(f(x ), f(a)) ~ t:) .
On dit que f est discontinue en a si et seulement si f n'est pas continue en a.
Les cinq propositions suivantes sont immédiates.