L'étude de la limite d'une fonction à
valeurs dans un produit cartésien d'un
nombre fini de facteurs se ramène à
celle des fonctions composantes.
~ Résultat important pour la pratique.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
D >- .
o.
0
u
On a ici noté, abusivement : g o f :
X-)- G
XI-> g(/(x))
1.2 · Limites, continuité
Cas des fonctions à valeurs dans un produit d'evn
n
Soient n EN*, E, F1 , ... .Fn des IK.-evn, XE ~(E), a EX, f: X-+ n Fk.
k= l
n
l = (/1,. .. Jn) E n Fk. Pour chaque k de {l, ... ,n}, on note fk = prk o f,
k=l
où prk : F -----+ Fk
est la kème projection.
(y1,. .. ,yn)~Yk
On a: f-----+ l {==::::} (Vk E {l, ... ,n},fk-----+ lk).
a
a
Preuve
n
rr Fk est ici muni de la norme V définie par :
k=l
où Nk est la norme de Fk (cf. 1.1.1 3) b) p. 8).
On a alors, pour tout x = (x i , . .. ,xn) de X et touts > 0:
v(f(x) -1) ~ s <===> (vk E {l,. .. ,n}, Nk(fk(x) - lk) ~ s ).
Le résultat s'en déduit aisément.
•
Théorème d'encadrement pour les fonctions à valeurs dans ~
Soient XE ~(E) , a EX, f, g, h: X-----+~. l E ~.
Si { f eth admettent l pour limite en a
I'
3V E VE(a), Vx EX n V , f (x) ~ g(x) ~ h(x)
alors g admet l pour limite en a.
Preuve
Soit s > 0; il existe V 1 , V 2 E VE(a) tels que:
En notant V 3 = V n Vi n V 2 E VE(a), on a:
{
Vx EXnVi,
Vx EX n Vi,
lf(x) - li ~ s
lh (x) - li ~ s ·
'Vx E X n V3, l - s ~ f (x) ~ g(x) ~ h(x) ~ l + s,
ce qui prouve :
Composition des limites
Soient E , F,G trois evn, XE ~(E), Y E ~(F), a EX, b E Y,
f: X-----+ F, g: Y-----+ G telles quef(X) C Y , l E G.
SI
. { f admet b pour limite en a 1
.
.
d
l
1
. .
b , alors g o f admet l pour hm1te en a.
g a met pour umte en
Preuve
Soit W E VG (l). JI existe V E VF(b) tel que: 'Vy E Y n V , g(y) E W.
Puis il existe U E V E(a) tel que: 'Vx EX n U, f(x) EV.
On a alors: 'Vx E X n U , g(f (x)) E W.
--...,
•
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